题解：洛谷 AT_abc461_c Variety

【题目来源】

洛谷：AT_abc461_c [ABC461C] Variety - 洛谷

【题目描述】

有 \(N\) 颗宝石，第 \(i\) 颗宝石的颜色（用整数表示）为 \(C_i\)，价值为 \(V_i\)。

请从这 \(N\) 颗宝石中选择 \(K\) 颗宝石，选出的宝石必须包含至少 \(M\) 种不同的颜色。

求所选宝石的价值总和的最大值。（保证在给定的输入中总可以做出这样的选择。）

【输入】

输入从标准输入读入，格式如下：

\(N\ K\ M\)
\(C_1\ V_1\)
\(C_2\ V_2\)
\(\vdots\)
\(C_N\ V_N\)

【输出】

输出所能取得的最大价值总和。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 颗宝石，每颗有颜色 \(C_i\) 和价值 \(V_i\)。需选出 \(K\) 颗，且至少包含 \(M\) 种不同颜色，求最大价值总和。这是一个贪心 + 分类选取问题，核心在于先保证颜色多样性约束，再最大化总价值。
算法选择：
- 按价值降序排序 + 两轮贪心：第一轮优先选取不同颜色的高价值宝石以满足 \(M\) 种颜色约束，第二轮从剩余宝石中选取价值最高的补足 \(K\) 颗
关键步骤：
- 读入数据：\(N\)、\(K\)、\(M\)，以及每颗宝石的 \((C_i, V_i)\)
- 按价值降序排序：\(a[1..N]\) 按 \(V_i\) 从大到小排列
- 第一轮——颜色覆盖（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
  - 若已选够 \(M\) 种颜色，终止
  - 若当前宝石颜色未被选过：标记颜色、标记选中、累加价值、计数 \(+1\)
- 第二轮——价值补足（\(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
  - 若已选够 \(K\) 颗，终止
  - 若当前宝石未被选中：标记选中、累加价值、计数 \(+1\)
- 输出结果：\(ans\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，排序主导复杂度，两轮遍历各 \(O(N)\)
- 空间复杂度：\(O(N)\)，存储宝石信息和颜色标记数组
贪心策略正确性分析：
- 颜色优先原则：第一轮优先保证 \(M\) 种不同颜色，每种颜色选该颜色中价值最高的宝石（因为已按全局价值排序，首次遇到某颜色即为该颜色最高价值）
- 价值最大化原则：第二轮在已满足颜色约束的基础上，从剩余宝石中选价值最高的 \(K-M\) 颗，全局降序排序确保这一步的最优性
- 无后效性保证：第一轮选中的宝石不参与第二轮，但第二轮从剩余中选全局最高价值，不会因为第一轮的选择而损失更优解——若某高价值宝石与第一轮某宝石同色，它会在第二轮被选中；若不同色，它已在第一轮被选中
- 约束满足性：两轮分别保证"至少 \(M\) 种颜色"和"恰好 \(K\) 颗"，且总价值在约束下最大化
- 适用于带多样性约束的选择问题、分类贪心策略设计类问题

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 200005;  // 定义最大数量
int n, k, m, ans;  // 物品数n，总选择数k，颜色数m，总价值ans
struct Node
{
    int c, v;  // 颜色c，价值v
    bool flag;  // 是否被选择
}a[N];
bool color[N];  // 颜色是否被使用

bool cmp(Node x, Node y)  // 排序比较函数
{
    return x.v > y.v;  // 按价值从大到小排序
}
signed main()  // 主函数
{
    cin >> n >> k >> m;  // 输入物品数、总选择数、颜色数
    for (int i=1; i<=n; i++)  // 读取所有物品
    {
        cin >> a[i].c >> a[i].v;  // 输入颜色和价值
        a[i].flag = false;  // 初始化未选择
    }
    sort(a+1, a+n+1, cmp);  // 按价值排序
    int cnt = 0;  // 已选择物品计数
    for (int i=1; i<=n; i++)  // 第一轮：每个颜色至少选一个
    {
        if (cnt==m) break;  // 已选够m个颜色
        if (!color[a[i].c])  // 如果这个颜色还没被选过
        {
            color[a[i].c] = true;  // 标记颜色被使用
            a[i].flag = true;  // 标记物品被选择
            ans += a[i].v;  // 累加价值
            cnt++;  // 计数增加
        }
        else  // 如果颜色已被选过
            continue;  // 跳过
    }
    for (int i=1; i<=n; i++)  // 第二轮：选满k个物品
    {
        if (cnt==k) break;  // 已选够k个物品
        if (!a[i].flag)  // 如果物品还未被选择
        {
            a[i].flag = true;  // 标记物品被选择
            ans += a[i].v;  // 累加价值
            cnt++;  // 计数增加
        }
        else  // 如果物品已被选择
            continue;  // 跳过
    }
    cout << ans << endl;  // 输出总价值
    return 0;  // 程序正常结束
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-26 10:12 团爸讲算法阅读(10) 评论(0) 收藏举报

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普及- #贪心

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