题解：洛谷 AT_abc460_b Two Rings

【题目来源】

洛谷：AT_abc460_b [ABC460B] Two Rings - 洛谷

【题目描述】

在平面直角坐标系 \(xy\) 中有两个圆 \(C_1\) 和 \(C_2\)，在此题中，圆指的是圆周。

圆 \(C_1\) 的圆心在点 \((X_1,Y_1)\) 上，其半径为 \(R_1\)。

圆 \(C_2\) 的圆心在点 \((X_2,Y_2)\) 上，其半径为 \(R_2\)。

你需要判断这两个圆是否相交。换句话说，你需要判断是否有至少一个点，它到 \((X_1,Y_1)\) 的距离为 \(R_1\)，到 \((X_2,Y_2)\) 的距离为 \(R_2\)。

给定 \(T\) 个测试用例，你需要分别求出答案。

【输入】

输入以如下格式给出，其中 \(\operatorname{case}_i\) 为第 \(i\) 个测试用例。

\(T\)
\(\operatorname{case_1}\)
\(\operatorname{case_2}\)
\(...\)
\(\operatorname{case_T}\)

各测试用例以如下格式给出。

\(X_1\) \(Y_1\) \(R_1\) \(X_2\) \(Y_2\) \(R_2\)

【输出】

输出 \(T\) 行，第 \(i\) 行表示第 \(i\) 个测试用例的答案。

在每个测试用例中，如果 \(C_1\) 和 \(C_2\) 相交则输出 Yes，否则输出 No。

【输入样例】

7
0 0 2 2 3 2
0 0 2 2 3 1
1 2 5 3 2 1
5 4 2 8 8 3
2 1 5 5 1 2
0 0 1 0 0 1
0 0 500000000 1 1000000000 500000000

【输出样例】

Yes
No
No
Yes
Yes
Yes
No

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(T\) 组测试用例，每组包含两个圆的圆心坐标和半径，判断两圆是否相交（即圆周上是否存在公共点）。这是一个几何判定问题，核心在于利用圆心距与半径和/差的关系进行精确判断，同时避免浮点精度问题。

2. 算法选择：

   • 距离平方比较：计算圆心距的平方 \(d^2 = (X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2\)，与半径和的平方 \((R_1 + R_2)^2\) 和半径差的平方 \((R_1 - R_2)^2\) 比较

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(T\)，以及 \(T\) 组 \((X_1, Y_1, R_1, X_2, Y_2, R_2)\)
   • 计算圆心距平方：\(d \leftarrow (X_1 - X_2)^2 + (Y_1 - Y_2)^2\)
   • 计算半径和与差的平方：\(rSum \leftarrow R_1 + R_2\)，\(rSub \leftarrow R_1 - R_2\)
   • 相交判定：
     • 若 \((R_1 - R_2)^2 \leq d \leq (R_1 + R_2)^2\)：输出 Yes
     • 否则：输出 No
   • 注意：\(d\) 是圆心距的平方，因此与半径和/差的平方直接比较

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T)\)，每组测试用例 \(O(1)\) 计算
   • 空间复杂度：\(O(1)\)

5. 几何判定与整数运算的核心思想：

   • 相交的充要条件：两圆相交（有公共点）\(\Leftrightarrow |R_1 - R_2| \leq \text{圆心距} \leq R_1 + R_2\)。左边保证一圆不完全包含另一圆（内含不相交），右边保证两圆不分离
   • 平方避免开方：不计算圆心距 \(\sqrt{d}\)，而是将不等式两边平方，得到 \((R_1 - R_2)^2 \leq d \leq (R_1 + R_2)^2\)，完全避免浮点运算和精度损失
   • 半径差的处理：\(R_1 - R_2\) 可能为负，但平方后 \((R_1 - R_2)^2 = (R_2 - R_1)^2\)，因此无需取绝对值
   • 大数安全：坐标和半径可达 \(10^9\)，圆心距平方可达 \((2 \times 10^9)^2 = 4 \times 10^{18}\)，需要使用 long long（#define int long long）防止溢出
   • 适用于基础几何判定、浮点精度规避类问题

【算法标签】

入门 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int t;  // 测试用例数量

signed main()
{
    cin >> t;  // 输入测试用例数量
    while (t--)  // 处理每个测试用例
    {
        int x1, y1, r1, x2, y2, r2;  // 两个圆的圆心坐标和半径
        cin >> x1 >> y1 >> r1 >> x2 >> y2 >> r2;  // 输入两个圆的参数
        int dx = x1 - x2;  // 圆心横坐标差
        int dy = y1 - y2;  // 圆心纵坐标差
        int d = dx * dx + dy * dy;  // 圆心距离的平方
        int rSum = r1 + r2;  // 半径和
        int rSub = r1 - r2;  // 半径差
        if (d <= rSum * rSum && d >= rSub * rSub)  // 判断两圆是否相交
            cout << "Yes" << endl;  // 相交
        else
            cout << "No" << endl;  // 不相交
    }
    return 0;
}

【运行结果】

7
0 0 2 2 3 2
Yes
0 0 2 2 3 1
No
1 2 5 3 2 1
No
5 4 2 8 8 3
Yes
2 1 5 5 1 2
Yes
0 0 1 0 0 1
Yes
0 0 500000000 1 1000000000 500000000
No