题解：洛谷 AT_abc460_a Mod While Positive

【题目来源】

洛谷：AT_abc460_a [ABC460A] Mod While Positive - 洛谷

【题目描述】

给定正整数 \(N\) 和 \(M\)。
当 \(M\not=0\) 时，重复执行以下操作，请计算出操作进行的次数：

• 设 \(x\) 为 \(N\) 除以 \(M\) 的余数。将 \(M\) 的值替换为 \(x\)。

注：可以证明，经过有限次上述操作后，必定会使 \(M=0\)。

【输入】

从标准输入按以下形式给出数据：

\(N\) \(M\)

【输出】

输出答案。

【输入样例】

8 5

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定正整数 \(N\) 和 \(M\)，模拟辗转相除的过程：不断用 \(N \bmod M\) 替换 \(M\)，直到 \(M = 0\)，统计操作次数。这是一个辗转相除法（欧几里得算法）的模拟问题，核心在于理解操作序列并正确计数。

2. 算法选择：

   • 直接模拟：用循环执行取模替换操作，直到 \(M = 0\)

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(N, M\)
   • 循环执行（当 \(M \neq 0\)）：
     • \(x \leftarrow N \bmod M\)
     • \(N \leftarrow M\)，\(M \leftarrow x\)
     • \(ans \leftarrow ans + 1\)
   • 输出结果：\(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log \min(N, M))\)，辗转相除法的步数上界
   • 空间复杂度：\(O(1)\)

5. 辗转相除模拟的核心思想：

   • 操作序列的理解：每次操作为 \(M \leftarrow N \bmod M\)，同时 \(N\) 更新为原来的 \(M\)。这与标准欧几里得算法 \(\gcd(N, M) = \gcd(M, N \bmod M)\) 完全一致，只是额外统计了步数
   • 终止性保证：由于 \(N \bmod M < M\)，每次操作后 \(M\) 严格减小，最终必变为 \(0\)
   • 步数计算：循环条件是 \(M \neq 0\)，但最后一次操作使 \(M = 0\) 时循环已结束，因此需要额外加 \(1\)。或者更简洁地：循环条件改为 \(M > 0\)，每次 \(N \leftarrow M, M \leftarrow N \bmod M\)，计数
   • 边界注意：代码中 while (n % m != 0) 的条件判断的是上一次操作后的余数，因此循环内只统计了"非零余数"的次数，最后需要 ans + 1 补上最后一次使 \(M = 0\) 的操作
   • 适用于基础模拟、欧几里得算法理解类入门问题

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, ans;  // n: 第一个数，m: 第二个数，ans: 步数计数器
int main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入两个正整数
    while (n % m != 0)  // 当n不能被m整除时循环
    {
        /// n = n % m;  // 错误的写法，应该是m = n % m
        m = n % m;  // 用n对m取余，更新m
        ans++;  // 步数加1
    }
    cout << ans + 1 << endl;  // 输出总步数
    return 0;
}

【运行结果】

8 5
3