题解：洛谷 AT_abc451_f Make Bipartite 3

【题目来源】

洛谷：AT_abc451_f [ABC451F] Make Bipartite 3 - 洛谷

【题目描述】

有一个无向图 \(G\)，它有 \(N\) 个顶点和 \(0\) 条边，顶点的编号从 \(1\) 到 \(N\)。

给定 \(Q\) 个查询。在第 \(i\) 个查询中，向图 \(G\) 中添加一条连接顶点 \(u_i\) 和顶点 \(v_i\) 的边。

在处理完每个查询后的图 \(G\) 中，请判断是否可以将 \(G\) 的每个顶点涂成白色或黑色中的一种颜色，且满足以下条件；如果可行，则求出被涂成黑色的顶点数的最小可能值。

• 对于每一条边，其两端的顶点都被涂上了不同的颜色。

【输入】

输入以以下形式从标准输入中给出。

\(N\) \(Q\) \(u_1\) \(v_1\) \(u_2\) \(v_2\) \(\cdots\) \(u_Q\) \(v_Q\)。

【输出】

请输出 \(Q\) 行。

在第 \(i\) 行中，输出处理完第 \(i\) 个查询后的图 \(G\) 的以下数值。

• 如果存在满足条件的涂色方式，则输出黑色顶点的最小可能数量。
• 如果不存在满足条件的涂色方式，则输出 \(-1\)。

【输入样例】

4 4
1 2
2 3
3 4
1 3

【输出样例】

1
1
2
-1

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个孤立顶点，依次添加 \(Q\) 条无向边。每次添加后立即判断图是否为二分图，若是则求黑色顶点的最小数量。这是一个动态二分图判定 + 扩展域并查集（带权并查集 / 种类并查集）问题，核心在于维护每个连通分量的染色方案，并在加边时检测奇环。

2. 算法选择：

   • 扩展域并查集：每个顶点 \(u\) 拆分为 \(u\)（代表白色）和 \(u+n\)（代表黑色）。若 \(u\) 和 \(v\) 之间有边，则 \(u\) 与 \(v\) 异色，即 \(u\)（白）与 \(v+n\)（黑）同集合，\(u+n\)（黑）与 \(v\)（白）同集合
   • 贪心染色：对每个连通分量，选择黑白两种颜色中数量较少的那种作为黑色顶点数，累加得到全局最小黑色数

3. 关键步骤：

   • 初始化：\(p[i] = i\)（\(1 \leq i \leq 2n\)），\(sz[i] = 1\)（\(1 \leq i \leq n\)），\(ans = 0\)
   • 处理每条边 \((u, v)\)：
     • 若之前已判定非二分图（\(ans = -1\)），直接输出 \(-1\)
     • 若 \(find(u) = find(v+n)\)（\(u\) 和 \(v\) 已在同一集合，即同色），则形成奇环，\(ans \leftarrow -1\)
     • 若 \(find(u) = find(v)\)（已在不同集合的异色连通块），则合并两个连通块：
       • 减去原贡献：\(ans \leftarrow ans - \min(sz[pu], sz[pun]) - \min(sz[pv], sz[pvn])\)
       • 合并：\(p[pvn] = pu\)，\(sz[pu] += sz[pvn]\)；\(p[pv] = pun\)，\(sz[pun] += sz[pv]\)
       • 加上新贡献：\(ans \leftarrow ans + \min(sz[pu], sz[pun])\)
     • 输出 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(Q \cdot \alpha(N))\)，并查集操作近似 \(O(1)\)
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，扩展域并查集数组

5. 扩展域并查集与动态二分图的核心思想：

   • 颜色对立关系建模：\(u\) 与 \(v\) 异色 \(\Leftrightarrow\) \(u\) 和 \(v+n\) 同集合、\(u+n\) 和 \(v\) 同集合。通过并查集的合并操作，将"异色约束"转化为"同集合约束"
   • 奇环检测：若 \(find(u) = find(v)\)，说明 \(u\) 和 \(v\) 已经是同一颜色，再添加边 \((u,v)\) 必然形成奇环，图不再是二分图
   • 连通块合并的最优染色：两个异色连通块合并后，新的连通块中每个原连通块的黑白集合被重新组合。\(sz[pu]\) 和 \(sz[pun]\) 分别表示以 \(pu\) 为根的集合中"白域"和"黑域"的大小，\(\min\) 取较小者即为该连通块的最小黑色数
   • 增量维护答案：合并前先减去两个原连通块的贡献，合并后加上新连通块的贡献，保证 \(ans\) 始终为当前所有连通块最小黑色数之和
   • 适用于动态图二分性判定、二分图染色优化、种类并查集类问题

【算法标签】

普及+ #并查集

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 200005 * 2;  // 两倍空间
int n, q, ans;  // n: 节点数, q: 操作数, ans: 当前答案
int p[N], sz[N];  // 并查集数组和大小数组

int find(int x)  // 并查集查找，带路径压缩
{
    if (p[x] != x)  // 如果不是根
    {
        p[x] = find(p[x]);  // 路径压缩
    }
    return p[x];
}
int main()
{
    cin >> n >> q;  // 输入节点数和操作数

    // 初始化
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        sz[i] = 1;  // 初始每个集合大小为1
    }
    for (int i = 1; i <= n + n; i++)  // 初始化2n个并查集元素
    {
        p[i] = i;  // 每个元素是自己的父节点
    }

    while (q--)  // 处理每个操作
    {
        int u, v;
        cin >> u >> v;  // 输入边(u,v)

        // 如果已经违反二分图条件，或之前已违反
        if (find(u) == find(v + n) || ans == -1)
        {
            cout << ans << endl;  // 直接输出当前答案
            continue;
        }

        int pu = find(u), pv = find(v);  // 找到u和v的根
        int pun = find(u + n), pvn = find(v + n);  // 找到u'和v'的根

        // 检查u和v是否已经在同一集合（同色）
        if (pu == pv)
        {
            ans = -1;  // 违反二分图条件
            cout << ans << endl;
            continue;
        }

        // 减去原来两个连通块的贡献
        ans = ans - min(sz[pu], sz[pun]) - min(sz[pv], sz[pvn]);

        // 合并集合：u和v'合并，u'和v合并
        p[pvn] = pu;  // 将v'合并到u
        sz[pu] += sz[pvn];  // 更新大小

        p[pv] = pun;  // 将v合并到u'
        sz[pun] += sz[pv];  // 更新大小

        // 加上新连通块的贡献
        ans += min(sz[pu], sz[pun]);

        cout << ans << endl;  // 输出当前答案
    }
    return 0;
}

【运行结果】

4 4
1 2
1
2 3
1
3 4
2
1 3
-1