题解：洛谷 P2852 Milk Patterns

【题目来源】

洛谷：P2852 [USACO06DEC] Milk Patterns G - 洛谷

【题目描述】

农夫约翰注意到他的奶牛所产的牛奶质量每天都在变化。经过进一步调查，他发现虽然无法预测牛奶质量从一天到下一天的变化，但每天的牛奶质量中存在一些规律模式。

为了进行严格的研究，他发明了一种复杂的分类方案，其中每个牛奶样本被记录为一个介于 \(0\) 和 \(1,000,000\) 之间的整数，并记录了一头奶牛在 \(N\ (1 \le N \le 20,000)\) 天内的数据。他希望找到一个最长的样本模式，该模式至少重复 \(K\ (2 \le K \le N)\) 次。这可能包括重叠的模式——例如，1 2 3 2 3 2 3 1 中的 2 3 2 3 重复了两次。

帮助农夫约翰找到样本序列中最长的重复子序列。保证至少有一个子序列重复至少 \(K\) 次。

【输入】

第 \(1\) 行：两个用空格分隔的整数：\(N\) 和 \(K\)。

第 \(2\) 行到第 \(N+1\) 行：\(N\) 个整数，每行一个，第 \(i\) 行表示第 \(i\) 天的牛奶质量。

【输出】

第 \(1\) 行：一个整数，表示至少出现 \(K\) 次的最长模式的长度。

【输入样例】

8 2
1
2
3
2
3
2
3
1

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 个整数序列，求至少出现 \(K\) 次的最长连续子序列长度（允许重叠）。本质上是二分答案 + 字符串哈希 / 子串计数问题：对长度进行二分，检查是否存在某个长度为 \(mid\) 的子序列出现至少 \(K\) 次。

2. 算法选择：

   • 二分答案：在 \([0, N]\) 范围内二分查找最大满足条件的长度 \(x\)
   • 哈希表计数：将所有长度为 \(x\) 的连续子序列提取出来，用 map<string, int> 统计出现次数

3. 关键步骤：

   • 读取数据：读入 \(N, K\) 和 \(N\) 个整数，拼接成长字符串 \(s\)（下标从 \(1\) 开始）
   • 前缀和预处理：\(sa[i]\) 表示前 \(i\) 个字符串的总字符数，用于快速定位子串位置
   • 二分查找：
     • \(l = 0\)，\(r = N\)
     • 当 \(l < r\)：\(mid = (l + r + 1) / 2\)
       • 若 check(mid) 为真，\(l = mid\)；否则 \(r = mid - 1\)
   • check(x) 函数：
     • 遍历所有起始位置 \(i = 1\) 到 \(N - x + 1\)
     • 计算子串 \(s[st\_pos \dots ed\_pos]\)，用 map 统计频次
     • 返回最大频次是否 \(\geq K\)
   • 输出 \(l\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log N \cdot N^2 \cdot L)\)，二分 \(O(\log N)\)，每次 check 提取子串 \(O(N \cdot L)\)（\(L\) 为平均子串长度）
   • 空间复杂度：\(O(N \cdot L)\)，map 存储子串

5. 二分 + 哈希表的核心思想：

   • 单调性判定：若长度为 \(x\) 的子序列存在出现 \(K\) 次的，则长度 \(< x\) 的子序列也一定存在（子序列的任意前缀也是子序列），满足二分条件
   • 子串提取技巧：将每个整数转为字符串后拼接，利用前缀和数组快速定位任意连续 \(x\) 个整数拼接后的子串起止位置
   • 哈希表统计：map<string, int> 自动去重并计数，\(O(\log M)\) 的插入和查询（\(M\) 为不同子串数）
   • 数据范围局限：\(N \leq 20000\) 但子串长度可能很大，本题代码用字符串拼接方式在 \(N\) 较大时可能超时，更优解应使用后缀数组 + 高度数组或滚动哈希
   • 适用于子串频次统计、模式匹配、二分判定类问题

【算法标签】

普及+ #哈希表

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 20005;

int n, k;
string s, a[N];
int sa[N];  // 前缀和数组，sa[i]表示前i个字符串拼接后的总字符数

// 检查是否存在长度为x的连续字符串组合出现至少k次
bool check(int x)
{
    // cout << "x " << x << endl;

    map<string, int> mp;
    for (int i = 1; i + x - 1 <= n; i++)
    {
        // 计算子串的起始和结束位置
        int st_pos = sa[i] - a[i].size() + 1;  // 第i个字符串的起始位置
        int ed_pos = sa[i + x - 1];            // 第(i+x-1)个字符串的结束位置
        // 提取子串
        string tmp = s.substr(st_pos, ed_pos - st_pos + 1);
        mp[tmp]++;  // 统计该子串出现的次数
    }
    int maxn = -1e9;
    for (auto t : mp)
    {
        maxn = max(maxn, t.second);  // 找到出现次数最多的子串
    }
    return maxn >= k;  // 判断是否有子串出现至少k次
}

int main()
{
    cin >> n >> k;
    s = " ";  // 在字符串前加一个空格，使索引从1开始
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i];
        s += a[i];  // 将所有字符串拼接成一个长字符串
    }
    // 计算前缀和：sa[i]表示前i个字符串的总字符数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        sa[i] = sa[i - 1] + a[i].size();
    }
    int l = 0, r = n;
    // 二分查找最大满足条件的x
    while (l < r)
    {
        int mid = (l + r + 1) / 2;
        if (check(mid))
        {
            l = mid;  // 满足条件，尝试更大的x
        }
        else
        {
            r = mid - 1;  // 不满足条件，减小x
        }
    }
    cout << l << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

8 2
1
2
3
2
3
2
3
1
4