题解：洛谷 AT_abc470_e Concentration

【题目来源】

洛谷：AT_abc470_e [ABC470E] Concentration

【题目描述】

Takahashi 正在玩一种类似于记忆配对的单人纸牌游戏。

共有 \(2N\) 张牌。每张牌的正面都写有一个数字，背面没有写任何东西。
对于每一个满足 \(1 \leq i \leq N\) 的 \(i\)，恰好有两张牌上写着 \(A_i\)（这些 \(A_i\) 各不相同）。

Takahashi 按照以下流程玩这个游戏：

• 将 \(2N\) 张牌洗牌后面朝下摊开。
• 将 life 设为 \(L\)，score 设为 \(0\)。
• 重复以下步骤，直到 life 变为 \(0\) 或桌上没有牌为止：
  • 选一张桌上面朝下的牌，将其翻开，记其数字为 \(X\)。
  • 再选一张桌上面朝下的牌，将其翻开，记其数字为 \(Y\)。
  • 如果 \(X=Y\)，则将这两张牌从桌上移除，得分增加 \(X\)。
  • 如果 \(X\neq Y\)，则将这两张牌重新扣下，life 减 \(1\)。

请在 Takahashi 总是采取最优策略（期望分数最大化）的情况下，求出游戏结束时分数的期望值。

下面是更形式化的描述：

• Takahashi 知道游戏的全部规则。
• Takahashi 知道 \(A_1,\dots,A_N\) 的值。
• 记 \(B\) 是通过对长度为 \(2N\) 的序列 \((A_1,A_1,A_2,A_2,\ldots,A_N,A_N)\) 进行等概率随机排列后得到的序列。
• 起始时，Takahashi 对 \(B\) 的内容一无所知。只要他了解了 \(B_i\) 的值，就会一直记住。
• life 初始化为 \(L\)，score 初始化为 \(0\)，\(S = \{1,2,3,\ldots,2N\}\)。Takahashi 永远知道这些值。
• 不断重复以下步骤，直至 life 变为 \(0\) 或 \(S\) 为空：
  • 根据已获得的信息，Takahashi 从 \(S\) 中选择一个元素 \(i\)。
  • \(B_i\) 的值被揭示，Takahashi 记住这个信息。
  • 根据已获得的信息（包括 \(B_i\) 的值），Takahashi 从 \(S\setminus\{i\}\) 中再选一个元素 \(j\)。
  • \(B_j\) 的值被揭示，Takahashi 记住这个信息。
  • 若 \(B_i=B_j\)，则从 \(S\) 中移除 \(i\) 和 \(j\)，并将 \(B_i\) 加入到得分中。
  • 若 \(B_i\neq B_j\)，则 life 减少 \(1\)。
• Takahashi 总是以最大化期望分数为目标采取最优策略。

【输入】

输入为标准输入，格式如下：

\(N\ L\ A_1\ A_2\ \dots\ A_N\)

【输出】

输出答案。
若你的输出与标准答案的绝对误差或相对误差不超过 \(10^{-5}\)，则认为是正确的。

【输入样例】

3 2
1 2 3

【输出样例】

3.8666666667

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 对卡片（每对数值为 \(A_i\)，两两不同），共 \(2N\) 张。每次翻两张，配对成功得 \(A_i\) 分并移除，失败生命 \(-1\)。初始生命 \(L\)，求最优策略下的期望得分。这是一个期望 DP 问题，核心在于状态设计需记录"完全未知的对数"和"已知单张的对数"，通过概率分析四种翻牌场景进行记忆化搜索。

2. 算法选择：

   • 记忆化搜索（期望 DP）：\(dp[p][l][known]\) 表示剩余 \(p\) 对完全未知、\(l\) 条生命、\(known\) 对已知单张时的最大期望得分
   • 状态压缩：由于 \(A_i\) 两两不同，只需记录对数状态，得分用平均值 \(sum = \frac{\sum A_i}{N}\) 统一计算

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(N\)、\(L\)、\(A[1..N]\)，计算平均值 \(sum = \frac{\sum_{i=1}^{N} A_i}{N}\)
   • 记忆化数组初始化：\(dp\) 全设为 \(-1\)（未计算）
   • DFS 状态转移（状态 \((p, l, known)\)）：
     • 终止条件：\(l = 0\) 时返回 \(0\)；\(known \geq p\) 时返回 \(p \times sum\)（所有牌至少翻过一次，可全部配对）
     • 计算剩余未知牌数 \(unknown = 2p - known\)
     • 场景一（概率 \(\frac{known}{unknown}\)）：第一张翻到已知单张的配对牌，必定成功配对
       • \(dp[p-1][l][known-1] + sum\)
     • 场景二（概率 \(1 - \frac{known}{unknown}\)）：第一张翻到完全未知的牌
       • 2a 配对成功（概率 \(\frac{1}{unknown-1}\)）：翻到同对另一张
         • \(dp[p-1][l][known] + sum\)
       • 2b 翻到已知单张的配对牌（概率 \(\frac{known}{unknown-1}\)，需 \(l \geq 2\)）：
         • 本轮失败但可立即消掉已知对，\(dp[p-1][l-1][known] + sum\)
       • 2c 翻到另一张完全未知的牌（概率 \(1 - \frac{1}{unknown-1} - \frac{known}{unknown-1}\)）：
         • 两张都变已知单张，\(dp[p][l-1][known+2]\)
     • 按概率加权求和返回期望
   • 输出答案：\(dfs(N, L, 0)\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^2 \times L)\)，状态数 \(O(N^2 \times L)\)，每个状态 \(O(1)\) 转移
   • 空间复杂度：\(O(N^2 \times L)\)，三维记忆化数组

5. 期望 DP 的核心思想：

   • 状态设计的关键：不记录具体哪些对已知，只记录"完全未知的对数"和"已知单张的对数"，因为 \(A_i\) 两两不同且策略只依赖于信息结构而非具体数值
   • 概率分解：将每次翻牌的所有可能情况按概率分解，最优策略体现在"已知单张优先配对"的贪心选择
   • 平均值替代：由于具体哪对成功不影响后续状态结构，用 \(sum\) 统一计算期望得分
   • 边界处理：\(known \geq p\) 时所有牌至少被翻过一次，可以全部配对成功，直接返回 \(p \times sum\)
   • 适用于信息不完全博弈、概率期望计算、记忆化搜索类问题

【算法标签】

提高 #期望DP

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 205; // 最大数据规模
int n, L; // n:数字种类数, L:初始生命值
double sum; // 所有数字的平均值（用于计算期望得分）
double dp[N][N][N]; // dp[p][l][known]:记忆化搜索数组
                    // p:剩余完全未知的对数, l:剩余生命数, known:已知单张的对数

double dfs(int p, int l, int known)
{
    // 如果已经计算过该状态，直接返回结果
    if (dp[p][l][known]!=-1)
        return dp[p][l][known];

    // 生命为0时无法继续游戏，得分为0
    if (l==0)
        return 0;

    // unknown:剩余未知牌的总数（每对完全未知的牌贡献2张，已知单张的对贡献1张）
    int unknown = 2 * p - known;

    // 如果已知单张的对数不少于完全未知的对数，说明所有牌都至少被翻开过一张
    // 此时可以直接全部配对成功，得分为p * sum（每对期望得分sum）
    if (known>=p)
        return p * sum;

    double sum1 = 0; // 当前状态的期望得分

    // 场景一：第一张翻开的是"已知单张的配对牌"
    // 概率 = known / unknown
    // 策略：优先配对已知单张，必定成功
    double p1 = 1.0 * known / unknown;
    if (known>=1)
        // 成功配对一对（p-1）
        // 已知单张减少1，得分增加sum
        sum1 += p1 * (dfs(p-1, l, known-1) + sum);

    // 场景二：第一张翻开的是"完全未知的牌"
    // 概率 = 1 - p1 = (2p - known) / unknown
    double p2 = (1-p1);

    // 情况2a：第二张翻开的是"与第一张同对的牌"（即配对成功）
    // 概率 = 1 / (unknown - 1)（第一张的配对牌只有1张）
    double p5 = 1.0 / (unknown - 1);
    // 成功配对，完全未知对数减1，已知单张数不变，得分增加sum
    sum1 += p2 * p5 * (dfs(p-1, l, known) + sum);

    // 情况2b：第二张翻开的是"已知单张的配对牌"
    // 概率 = known / (unknown - 1)
    double p3 = 1.0 * known / (unknown - 1);
    if (l>=2)
        // 本轮配对失败（两张属于不同对），生命减1
        // 但被翻到的已知单张对现在两张位置都知道了，可以立即消掉
        // 完全未知对数减1（新翻的变成已知单张），已知单张数不变（新产生1个，消掉1个）
        // 额外获得sum分（立即消掉的那对）
        sum1 += p2 * p3 * (dfs(p-1, l-1, known) + sum);

    // 情况2c：第二张翻开的是"另一张完全未知的牌"（即不同对）
    // 概率 = 1 - p3 - p5
    double p4 = 1 - p3 - p5;
    // 配对失败，生命减1
    // 两张完全未知的牌都变成了已知单张
    // 完全未知对数不变（因为翻了两张不同对，各剩一张未知），已知单张数加2
    sum1 += p2 * p4 * dfs(p, l-1, known+2);

    // 保存结果并返回（注意：return后面的cout不会执行）
    return dp[p][l][known] = sum1;
}
int main()
{
    cin >> n >> L; // 读入数字种类数和初始生命值
    // 初始化记忆化数组为-1（表示未计算）
    for (int i=0; i<=n; i++)
        for (int j=0; j<=L; j++)
            for (int k=0; k<=n; k++)
                dp[i][j][k] = -1;

    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        int x; cin >> x; // 读入每种数字的值
        sum += x; // 累加所有数字值
    }
    sum /= n; // 计算平均值（每对成功配对的期望得分）
    // 输出结果：从初始状态（n对完全未知，L条生命，0对已知单张）开始搜索
    cout << fixed << setprecision(15) << dfs(n, L, 0);
    return 0;
}

【运行结果】

3 2
1 2 3
3.8666666667