题解：洛谷 P8902 Range Reconstruction

【题目来源】

洛谷：P8902 [USACO22DEC] Range Reconstruction S - 洛谷

【题目描述】

Bessie 有一个数组 \(a_1,\dots,a_N\)，其中 \(1\le N\le 300\) 并对于所有 \(i\) 有 \(0\le a_i\le 10^9\)。她不会告诉你数组 \(a\) 本身，但她会告诉你 \(a\) 的每个子数组的全距。也就是说，对于每对索引 \(i\le j\)，Bessie 告诉你 \(r_{i,j}=max\ a[i...j]-min\ a[i...j]\)。给定这些 \(r\) 的值，构造一个可以作为 Bessie 的原始数组的数组。你的数组中的数值应在 \([-10^9,10^9]\) 范围内。

【输入】

输入的第一行包含 \(N\)。

以下 \(N\) 行，第 \(i\) 行包含整数 \(r_{i,i},r_{i,i+1},\dots,r_{i,N}\)。

输入保证存在某个数组 \(a\)，其中的数值在 \([0,10^9]\) 范围内，满足对于所有的 \(i\le j\)，有 \(r_{i,j}=max\ a[i...j]-min\ a[i...j]\)。

【输出】

输出一行，包含 \(N\) 个整数 \(b_1,b_2,\dots,b_N\)，在 \([-10^9,10^9]\) 范围内，表示你的数组。这些数需要满足对于所有的 \(i\le j\) 有 \(r_{i,j}=max\ a[i...j]-min\ a[i...j]\)。

【输入样例】

3
0 2 2
0 1
0

【输出样例】

1 3 2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N \times N\) 的上三角矩阵 \(r_{i,j}\)（\(i \leq j\)），表示子数组 \([i,j]\) 的全距（最大值减最小值）。要求构造一个数组 \(ans[1..N]\)，使得所有子数组的全距与给定 \(r\) 一致。本质上是递推构造问题：利用相邻元素的全距关系，逐步确定每个新元素的位置（在当前区间最大值的上方或下方）。

2. 算法选择：

   • 递推构造：设 \(ans[1] = 0\)，\(ans[2] = ans[1] + r_{1,2}\)，然后逐个确定 \(ans[3]\) 到 \(ans[N]\)
   • 区间扩展判定：通过比较 \(r_{last-1,i}\) 与 \(r_{last-1,last} + r_{last,i}\) 的关系，判断新元素 \(ans[i]\) 应在 \(ans[last]\) 的同侧还是异侧

3. 关键步骤：

   • 读取数据：读入 \(N\) 和 \(r_{i,j}\)（\(1 \leq i \leq j \leq N\)）
   • 初始化：\(ans[1] = 0\)，\(ans[2] = ans[1] + r_{1,2}\)，\(last = 2\)
   • 递推构造（\(i = 3\) 到 \(N\)）：
     • 若 \(r_{last-1,i} = r_{last-1,last} + r_{last,i}\)：
       • \(ans[i]\) 与 \(ans[last]\) 在 \(ans[last-1]\) 的同侧
       • 若 \(ans[last] > ans[last-1]\)，\(ans[i] = ans[last] + r_{last,i}\)
       • 否则 \(ans[i] = ans[last] - r_{last,i}\)
     • 若 \(r_{last-1,i} < r_{last-1,last} + r_{last,i}\)：
       • \(ans[i]\) 与 \(ans[last]\) 在 \(ans[last-1]\) 的异侧
       • 若 \(ans[last] > ans[last-1]\)，\(ans[i] = ans[last] - r_{last,i}\)
       • 否则 \(ans[i] = ans[last] + r_{last,i}\)
     • 若 \(r_{i-1,i} \neq 0\)，更新 \(last = i\)
   • 输出 \(ans[1..N]\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^2)\)，读取矩阵 + 线性递推
   • 空间复杂度：\(O(N^2)\)，存储 \(r\) 矩阵

5. 递推构造的核心思想：

   • 全距的三角不等式：对任意 \(last-1 < last < i\)，有 \(r_{last-1,i} \leq r_{last-1,last} + r_{last,i}\)，等号成立当且仅当 \(ans[i]\) 与 \(ans[last]\) 在 \(ans[last-1]\) 同侧
   • 极值点追踪：\(last\) 始终指向当前已构造区间的极值点（最大值或最小值），新元素相对于 \(last\) 的位置由全距关系确定
   • 零全距的处理：\(r_{i-1,i} = 0\) 表示 \(ans[i] = ans[i-1]\)，此时不更新 \(last\)（极值点不变）
   • 构造的正确性：每次扩展保证 \([last-1, i]\) 和 \([last, i]\) 的全距约束，通过归纳法可证全局正确
   • 适用于矩阵重构、区间性质、递推构造类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及+ #构造

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxN = 305;
int a[maxN][maxN], ans[maxN];

int main()
{
    int n;
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入所有的数
        for (int j=i; j<=n; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }

    ans[1] = 0;  // 构造ans[1]为0
    ans[2] = ans[1] + a[1][2];  // 计算ans[2]
    int last = 2;  // 设置前一个数的下标
    for (int i=3; i<=n; i++) {  // i从3开始遍历至n
        if (a[last-1][i] == a[last-1][last] + a[last][i]) {  // 如a[1][3]==a[1][2]+a[2][3]
            if (ans[last] > ans[last-1]) {  // 且ans[2]>ans[1]
                ans[i] = ans[last] + a[last][i];  // ans[3] = ans[2]+a[2][3]
            } else {
                ans[i] = ans[last] - a[last][i];  // ans[3] = ans[2]-a[2][3]
            }
        } else if (a[last-1][i] < a[last-1][last] + a[last][i]) {  // 如a[1][3]<a[1][2]+a[2][3]
            if (ans[last] > ans[last-1]) {  // 且ans[2]>ans[1]
                ans[i] = ans[last] - a[last][i];  // ans[3] = ans[2]-a[2][3]
            } else {
                ans[i] = ans[last] + a[last][i];  // ans[3] = ans[2]+a[2][3]
            }
        }
        if (a[i-1][i] != 0) {  // 如果a[i-1][i]==0，则不更新last
            last = i;
        }
    }
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入ans数组
        cout << ans[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

3
0 2 2
0 1
0
0 2 1