题解：洛谷 P9014 Following Directions

【题目来源】

洛谷：P9014 [USACO23JAN] Following Directions S - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 有一个正方形的草地，草地被划分为了 \((N+1)\times (N+1)(1\le N\le 1500)\) 的格子。设 \((i,j)\) 为从上到下、从左到右第 \(i\) 行，第 \(j\) 列的格子。每个满足 \(1\le i,j\le n\) 的格子 \((i,j)\) 之中都住着一头牛，而且每个这样的格子上都有一个路标指向右或下。除此之外，所有满足 \(i=N+1\) 或 \(j=N+1\) 的格子，除了 \((N+1,N+1)\) 都会有一个饲料桶。牛在每个饲料桶进食需要的价格不同；位置 \((i,j)\) 上的桶喂饱一只牛需要价格 \(c_{i,j}(1\le c_{i,j}\le 500)\)。

每天晚饭时间，Farmer John 摇响晚餐铃时，所有牛都沿着路标的指向前进，直到它们遇到了饲料桶，之后它们会在它们自己遇到的饲料桶那里进食。第二天，所有牛又会回到自己原来的位置。

为了维持预算，Farmer John 想要知道每天喂食需要的价钱。然而，每天晚饭之前，总会有一头牛 \((i,j)\) 翻转它那里的路标（原来向下则变成向右，反之亦然）。被翻转的路标指向将在后面的日子里保持不变，除非它又被进行了翻转。

给出每天被翻转的路标的坐标，请输出每天喂食需要的价格（总共有 Q 天，\(1\le Q\le 1500\)）。

【输入】

第一行为 \(N(1\le N\le 1500)\)

接下来的 \(N\)\(+1\) 行从上到下输入初始的路标朝向和每个饲料桶的价格 \(c_{i,j}\)。前 \(N\) 行每行包含一个长度为 \(N\) 的字符串，其中每个字符只能是 R 或 D（R 表示向右，D 表示向下），之后是一个数，表示价格 \(c_{i,N+1}\)，第 \((N+1)\) 行包含 \(N\) 个数，依次表示价格 \(c_{N+1,j}\)。

接下来的一行为 \(Q(1\le Q\le 1500)\)。

之后的 \(Q\) 行，每行有两个整数 \(i\) 和 \(j(1\le i,j\le N)\)，表示每天被翻转的路标的坐标。

【输出】

共 \(Q+1\) 行：第一行是初始的总价格，之后 \(Q\) 行依次是每次被翻转后的总价格。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定一个 \((N+1) \times (N+1)\) 的网格，前 \(N \times N\) 每个格子有路标 R（右）或 D（下），边界有饲料桶及价格。每头牛沿路标走到边界进食。每天翻转一个路标，求每天的总喂食价格。本质上是递推计数 + 增量更新问题：用 sum[r][c] 表示经过格子 \((r,c)\) 的牛的数量，递推计算后通过增量更新处理翻转。
算法选择：
- 递推求路径数：sum[r][c] 初始为 \(1\)（每格一头牛），按路标方向累加传播到边界
- 增量更新：翻转路标时，先沿原方向减去该格子的贡献，翻转后再沿新方向加回贡献
关键步骤：
- 读取数据：读入 \(N\)，\(N \times N\) 路标和行末价格 costR，以及底部价格 costD
- 初始化：sum[r][c] = 1（\(1 \leq r, c \leq N\)）
- 递推传播（\(r = 1\) 到 \(N\)，\(c = 1\) 到 \(N\)）：
  - 若 dir[r][c] == 'R'：sum[r][c+1] += sum[r][c]
  - 若 dir[r][c] == 'D'：sum[r+1][c] += sum[r][c]
- 计算总价格：ans = sum[r][N+1] * costR[r] + sum[N+1][c] * costD[c]
- 处理 \(Q\) 次翻转：
  - 保存 tmpR = r, tmpC = c, tmpSum = sum[r][c]
  - 减去原贡献：沿原路标方向走，每步 sum 减去 tmpSum
  - 翻转路标：R \(\leftrightarrow\) D
  - 加回新贡献：沿新路标方向走，每步 sum 加上 tmpSum
  - 输出新的总价格
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N^2 + Q \cdot N)\)，初始化 \(O(N^2)\)，每次翻转更新 \(O(N)\)
- 空间复杂度：\(O(N^2)\)，sum 和 dir 数组
递推计数 + 增量更新的核心思想：
- 路径数的叠加原理：每格子的牛按路标流向下一格，sum 数组记录流经每个格子的牛数，边界格子的 sum 即为到达该饲料桶的牛数
- 增量更新的正确性：翻转一个路标只影响从该格子出发的所有下游路径，减去原路径贡献再加回新路径贡献，其他格子不受影响
- 单向传播：路标只有 R 和 D 两个方向，保证无环，递推顺序从左到右、从上到下即可
- 价格计算：边界格子的 sum 乘以对应饲料桶价格即为该桶总花费
- 适用于网格路径、动态更新、流量统计类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #递推

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxN = 1505;
char dir[maxN][maxN];
int n, sum[maxN][maxN], costR[maxN], costD[maxN];

int calc()
{
    int ans = 0;
    for (int r=1; r<=n; r++) {  // 遍历所有行
        ans += sum[r][n+1] * costR[r];  // 计算每行的价格，并进行累加
    }
    for (int c=1; c<=n; c++) {  // 遍历所有列
        ans += sum[n+1][c] * costD[c];  // 计算每列的价格，并累加
    }
    return ans;  // 返回总价格
}
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int r=1; r<=n; r++) {  // 输入所有字符
        for (int c=1; c<=n; c++) {
            cin >> dir[r][c];
        }
        cin >> costR[r];  // 每行最后一个数字
    }
    for (int c=1; c<=n; c++) {  /// 输入每列的价格
        cin >> costD[c];
    }
    for (int r=1; r<=n; r++) {  // 每个位置的sum[r][c]初始为1，用于后面递推
        for (int c=1; c<=n; c++) {
            sum[r][c] = 1;
        }
    }
    for (int r=1; r<=n; r++) {  // 进行递推
        for (int c=1; c<=n; c++) {
            if (dir[r][c]=='R') {  // 如果当前字符为'R'
                sum[r][c+1] += sum[r][c];  // 右边的sum[r][c]加上当前值
            }
            if (dir[r][c]=='D') {  // 如果当前字符为'D'
                sum[r+1][c] += sum[r][c];  // 下面的sum[r][c]加上当前值
            }
        }
    }
    cout << calc() << endl;  // 输出未翻转前的总价格
    int q;
    cin >> q;  // 输入q
    while (q--) {  // 遍历q次询问
        int r, c;
        cin >> r >> c;  // 输入被翻转的坐标
        int tmpR = r, tmpC = c, tmpSum = sum[r][c];  // 临时变量用来保存r、c和tmpSum，因为r和c要变化
        while (r<=n && c<=n) {  // 先从r->n和c->n，每个位置减掉tmpSum
            if (dir[r][c] == 'R') {  // 如果当前字符为'R'
                sum[r][++c] -= tmpSum;  // 则右边的sum[r][c]减去tmpSum
            } else {  // 如果当前字符为'D'
                sum[++r][c] -= tmpSum;  // 则下边的sum[r][c]减去tmpSum
            }
        }
        r = tmpR, c = tmpC;  // 还原r和c
        if (dir[r][c]=='R') {  // 设定翻转后的路标
            dir[r][c] = 'D';
        } else {
            dir[r][c] = 'R';
        }
        while (r<=n && c<=n) {  // 再次遍历r->c和c->n，每个位置再加回来tmpSum
            if (dir[r][c] == 'R') {  // 如果当前字符为'R'
                sum[r][++c] += tmpSum;  // 则右边的sum[r][c]减去tmpSum
            } else {  // 如果当前字符为'D'
                sum[++r][c] += tmpSum;  // 则下边的sum[r][c]减去tmpSum
            }
        }
        cout << calc() << endl;  // 输出每轮调整后的总和
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-17 22:48 团爸讲算法阅读(12) 评论(0) 收藏举报

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