题解：洛谷 P3029 Cow Lineup

【题目来源】

洛谷：P3029 [USACO11NOV] Cow Lineup S - 洛谷

【题目描述】

农民约翰雇一个专业摄影师给他的部分牛拍照。由于约翰的牛有好多品种，他喜欢他的照片包含每个品种的至少一头牛。

约翰的牛都站在一条沿线的不同地方，每一头牛由一个整数位置 \(X_i\) 以及整数品种编号 \(ID_i\) 表示。

约翰想拍一张照片，这照片由沿线的奶牛的连续范围组成。照片的成本与规模相当，这就意味着，在一系列照片中的最大和最小 \(X\) 坐标的差距决定了照片的成本。

请帮助约翰计算最小的照片成本，这些照片中有每个不同的品种的至少一头牛，没有两头牛愿意站在同一个地点的。

【输入】

第 \(1\) 行：牛的数量 \(N\)；

第 \(2..1+N\) 行：每行包含 2 个以空格分隔的正整数 \(X_i\) 和 \(ID_i\)；意义如题目描述；

【输出】

输出共一行，包含每个不同品种 \(ID\) 的照片的最低成本。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 头奶牛的位置 \(X_i\) 和品种 \(ID_i\)，求包含所有不同品种的连续子数组的最小长度（位置差）。本质上是滑动窗口（双指针）问题：排序后维护一个窗口，使其包含所有品种，然后收缩左边界求最小长度。
算法选择：
- 排序：按位置 \(X_i\) 升序排序
- 滑动窗口：右指针扩展窗口，左指针收缩窗口，用哈希表统计窗口内各品种数量
关键步骤：
- 读取数据：读入 \(N\) 和 \(N\) 头奶牛的信息，用 map 统计不同品种数 \(m\)
- 排序：按位置升序排序
- 滑动窗口（\(i = 0\) 到 \(N-1\)，右指针）：
  - s[a[i].type]++
  - 若 s[a[i].type] == 2，x++（该品种出现第二次，说明窗口内已有该品种）
  - 收缩左边界（当 x == m）：
    - \(ans = \min(ans, a[i].pos - a[head].pos)\)
    - s[a[head].type]--
    - 若 s[a[head].type] == 1，x--
    - head++
- 输出 \(ans\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，排序主导
- 空间复杂度：\(O(N)\)，哈希表存储
滑动窗口的核心思想：
- 排序后的连续性：排序后，包含所有品种的最小区间一定是连续子数组，可用双指针维护
- 品种覆盖判定：x 记录窗口中"出现次数 \(\geq 2\)"的品种数，当 x == m 时说明所有品种至少出现一次（因为每个品种首次出现时计数为 \(1\)，第二次出现时 x 才增加）
- 左边界收缩：当窗口满足条件时，尝试右移左边界以缩小窗口，同时更新最小长度
- 哈希表的动态维护：s[type] 记录当前窗口中该品种的数量，支持 \(O(1)\) 的增减和查询
- 适用于区间覆盖、最小窗口、双指针类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #双指针

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 奶牛结构体，存储位置和品种
struct cow
{
    int pos, type;
} a[50005];  // 存储所有奶牛信息

int n, m, head, x, ans = 2e9;  // n: 奶牛数量, m: 品种数, head: 滑动窗口左边界
                                // x: 当前窗口包含的品种数, ans: 最小覆盖区间长度
map<int, int> s;  // 记录各品种在窗口中的出现次数

// 比较函数：按位置升序排序
bool cmp(cow x, cow y)
{
    return x.pos < y.pos;
}

int main()
{
    // 输入奶牛数量
    cin >> n;

    // 输入每头奶牛的位置和品种，并记录品种
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i].pos >> a[i].type;
        s[a[i].type] = 1;  // 标记该品种存在
    }

    m = s.size();  // 计算不同品种的总数

    // 按位置排序奶牛
    sort(a, a + n, cmp);

    // 滑动窗口算法寻找最小覆盖区间
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        s[a[i].type]++;  // 当前品种计数增加

        // 如果该品种首次在窗口中出现两次，增加x
        if (s[a[i].type] == 2)
        {
            x++;
        }

        // 当窗口包含所有品种时，尝试收缩左边界
        while (x == m)
        {
            // 更新最小区间长度
            ans = min(a[i].pos - a[head].pos, ans);

            // 左边界移动，对应品种计数减少
            s[a[head].type]--;

            // 如果某个品种不再满足覆盖条件，减少x
            if (s[a[head].type] == 1)
            {
                x--;
            }
            head++;  // 移动左边界
        }
    }

    // 输出结果
    cout << ans;

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-17 09:47 团爸讲算法阅读(9) 评论(0) 收藏举报

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普及 #双指针

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