题解：洛谷 P2837 Dining Cows

【题目来源】

洛谷：P2837 [USACO08FEB] Dining Cows B - 洛谷

【题目描述】

为了避免餐厅过分拥挤，FJ 要求奶牛们分 \(2\) 批就餐。每天晚饭前，奶牛们都会在餐厅前排队入内，按 FJ 的设想，所有第 \(2\) 批就餐的奶牛排在队尾，队伍的前半部分则由设定为第 \(1\) 批就餐的奶牛占据。

由于奶牛们不理解 FJ 的安排，晚饭前的排队成了一个大麻烦。第 \(i\) 头奶牛有一张标明她用餐批次 \(D_i\) 的卡片。虽然所有 \(N\) 头奶牛排成了很整齐的队伍，但谁都看得出来，卡片上的号码是完全杂乱无章的。在若干次混乱的重新排队后，FJ 找到了一种简单些的方法：奶牛们不动，他沿着队伍从头到尾走一遍，把那些他认为排错队的奶牛卡片上的编号改掉，最终得到一个他想要的每个组中的奶牛都站在一起的队列，例如 \(112222\) 或 \(111122\)。有的时候，FJ 会把整个队列弄得只有 \(1\) 组奶牛（比方说，\(1111\) 或 \(222\)）。

你也晓得，FJ 是个很懒的人。他想知道，如果他想达到目的，那么他最少得改多少头奶牛卡片上的编号。所有奶牛在 FJ 改卡片编号的时候，都不会挪位置。

【输入】

第一行输入一个整数 \(N\)（\(1 \le N \le 3 \times 10 ^ 4\)）。

第 \(2 \sim N + 1\) 行，每行 \(1\) 个整数，表示第 \(i\) 头牛的用餐批次 \(D_i\)（\(1 \le D_i \le 2\)）。

【输出】

输出 \(1\) 个整数，为 FJ 最少要改几头奶牛卡片上的编号，才能让编号变成他设想中的样子。

【输入样例】

7
2
1
1
1
2
2
1

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(N\) 的 \(1/2\) 序列，求最少修改多少次使得序列变为"前面全 \(1\)、后面全 \(2\)"的形式（包括全 \(1\) 或全 \(2\) 的边界情况）。本质上是枚举分割点 + 前缀统计问题：枚举 \(1\) 和 \(2\) 的分界位置，计算该位置左侧需要改为 \(1\) 的 \(2\) 的个数加上右侧需要改为 \(2\) 的 \(1\) 的个数。

2. 算法选择：

   • 枚举分割点：设前 \(i\) 个为 \(1\)、后 \(N-i\) 个为 \(2\)（\(i = 0\) 到 \(N\)）
   • 前缀统计：对每个分割点，统计左侧 \(2\) 的个数和右侧 \(1\) 的个数

3. 关键步骤：

   • 读取数据：读入 \(N\) 和序列 \(a[1..N]\)
   • 枚举分割点（\(i = 0\) 到 \(N\)）：
     • \(cnt = 0\)
     • 左侧（\(j = 1\) 到 \(i\)）：若 \(a[j] = 2\)，\(cnt \leftarrow cnt + 1\)（需要改为 \(1\)）
     • 右侧（\(j = i+1\) 到 \(N\)）：若 \(a[j] = 1\)，\(cnt \leftarrow cnt + 1\)（需要改为 \(2\)）
     • \(minn = \min(minn, cnt)\)
   • 输出 \(minn\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^2)\)，枚举 \(N\) 个分割点，每次 \(O(N)\) 统计
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储序列

5. 枚举分割点的核心思想：

   • 目标形式的特征：最终序列一定是某个 \(i\) 使得 \(a[1..i] = 1\) 且 \(a[i+1..N] = 2\)，\(i = 0\) 表示全 \(2\)，\(i = N\) 表示全 \(1\)
   • 修改次数的计算：左侧的 \(2\) 需要改为 \(1\)，右侧的 \(1\) 需要改为 \(2\)，两者之和即为该分割点的修改次数
   • 最优分割点的存在性：最优解必然对应某个分割点，枚举所有可能即可找到全局最小
   • 前缀和优化：可用前缀和数组预处理 \(1\) 和 \(2\) 的累计个数，将复杂度优化到 \(O(N)\)
   • 适用于序列转换、分割点枚举、前缀统计类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #递推

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, a[30005], minn=1e9;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入n头奶牛的卡片
        cin >> a[i];
    }
    for (int i=0; i<=n; i++) {  // 从0遍历至n
        int cnt=0;  // 定义要调整的统计值
        for (int j=0; j<=i; j++) {  // i左侧的卡片计算需要修改为2的次数
            if (a[j]==2) cnt++;
        }
        for (int j=i+1; j<=n; j++) {  // i右侧的卡变计算需要修改为1的次数
            if (a[j]==1) cnt++;
        }
        minn = min(minn, cnt);  // 计算每轮调整的最小次数
    }
    cout << minn << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

7
2
1
1
1
2
2
1
2