题解：洛谷 P2677 Bookshelf 2

【题目来源】

洛谷：P2677 [USACO07DEC] Bookshelf 2 B - 洛谷

【题目描述】

Farmer John 最近为奶牛们的图书馆添置了一个巨大的书架，尽管它是如此的大，但它还是几乎瞬间就被各种各样的书塞满了。现在，只有书架的顶上还留有一点空间。所有 \(N(1\le N\le20)\) 头奶牛都有一个确定的身高 \(H_i(1\le H_i\le1,000,000\)（好高的奶牛 >_<）\()\)。设所有奶牛身高的和为 \(S\)。书架的高度为 \(B\)，并且保证 \(1\le B\le S\)。为了够到比最高的那头奶牛还要高的书架顶，奶牛们不得不象演杂技一般，一头站在另一头的背上，叠成一座“奶牛塔”。当然，这个塔的高度，就是塔中所有奶牛的身高之和。为了往书架顶上放东西，所有奶牛的身高和必须不小于书架的高度。塔叠得越高便越不稳定，于是奶牛们希望找到一种方案，使得叠出的塔在高度不小于书架高度的情况下，高度尽可能小。你也可以猜到你的任务了：写一个程序，计算奶牛们叠成的塔在满足要求的情况下，最少要比书架高多少。

【输入】

第 \(1\) 行：\(2\) 个用空格隔开的整数：\(N\) 和 \(B\)。

第 \(2 \sim N+1\) 行：第 \(i+1\) 行是 \(1\) 个整数：\(H_i\)。

【输出】

第 \(1\) 行：输出 \(1\) 个非负整数，即奶牛们叠成的塔最少比书架高的高度。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 头奶牛的身高 \(H_i\) 和书架高度 \(B\)，要求从 \(N\) 头奶牛中选出一个子集，使其身高之和 \(\ge B\)，且与 \(B\) 的差值最小。这是一个子集枚举问题，关键在于遍历所有可能的选取方案，找到满足条件的最小差值。由于 \(N \le 20\)，总子集数为 \(2^{20} \approx 10^6\)，适合用 DFS（深度优先搜索） 枚举。
算法选择：
- DFS 枚举子集：对每头奶牛进行"选"或"不选"的二元决策，递归遍历所有 \(2^N\) 种组合
- 剪枝优化：在递归到底时计算当前子集的和，仅当 \(\text{sum} \ge B\) 时更新答案
关键步骤：
- 初始化：读取 \(N\)（奶牛数量）、\(B\)（书架高度），以及 \(H[1..N]\)（每头奶牛的身高）
- DFS 递归（参数 \(\text{step}\) 表示当前处理第 \(\text{step}\) 头奶牛）：
  - 边界条件：若 \(\text{step} = N + 1\)，表示所有奶牛已决策完毕：
    - 计算当前选中奶牛的身高总和 \(\text{sum} = \sum_{i=1}^{N} (\text{used}[i] \times H_i)\)
    - 若 \(\text{sum} \ge B\)，更新最小差值：\(\text{ans} = \min(\text{ans}, \text{sum} - B)\)
    - 返回
  - 不选第 \(\text{step}\) 头奶牛：\(\text{used}[\text{step}] = \text{false}\)，递归 \(\text{dfs}(\text{step} + 1)\)
  - 还原现场：\(\text{used}[\text{step}] = \text{false}\)
  - 选第 \(\text{step}\) 头奶牛：\(\text{used}[\text{step}] = \text{true}\)，递归 \(\text{dfs}(\text{step} + 1)\)
  - 还原现场：\(\text{used}[\text{step}] = \text{false}\)
- 输出：\(\text{ans}\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(2^N \times N)\)，共 \(2^N\) 个子集，每个子集求和需要 \(O(N)\)
- 空间复杂度：\(O(N)\)，递归栈深度为 \(N\)，加上 \(\text{used}\) 数组
DFS 枚举子集的核心思想：
- 二元决策树：每头奶牛对应一个"选/不选"的分支，形成深度为 \(N\) 的满二叉树，遍历所有叶子节点即遍历所有子集
- 回溯与还原现场：每次递归后恢复状态，确保不同分支之间的决策互不干扰
- 边界处理：到达叶子节点时统一计算并判断，避免中途剪枝导致遗漏
- 数据范围适配：\(N \le 20\) 时 \(2^N\) 可接受；若 \(N\) 更大需改用 01 背包 等动态规划优化
- 适用于数据范围较小、需要枚举所有组合方案的子集选择类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #DFS-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, b, h[25], used[25], ans=1e9;  // 定义used数组，标记某头奶牛选或不选
void dfs(int step)
{
    if (step==n+1) {  // 当n头牛都选完了
        int sum=0;  // 定义奶牛们的身高总和
        for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n头奶牛
            if (used[i]==true) {  // 对于选中的奶牛
                sum += h[i];  // 计算身高总和
            }
        }
        if (sum-b>=0) ans = min(ans, sum-b);  // 在身高总和与b的差值大于等于0的基础上，计算最小值
        return;  // ！！！！一定要写！！！
    }
    used[step]=false;  // 不选该头牛
    dfs(step+1);  // 继续深搜
    used[step]=false;  // 还原现场
    used[step]=true;  // 选择该头牛
    dfs(step+1);  // 继续深搜
    used[step]=false;  // 还原现场
}
int main()
{
    cin >> n >> b;  // 输入n和b
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 输入n头奶牛的高度
        cin >> h[i];
    }
    dfs(1);  // 开始深搜
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-17 09:46 团爸讲算法阅读(8) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P2677 Bookshelf 2

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