题解：洛谷 P2676 Bookshelf

【题目来源】

洛谷：P2676 [USACO07DEC] Bookshelf B - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

Farmer John 最近为奶牛们的图书馆添置了一个巨大的书架，尽管它是如此的大，但它还是几乎瞬间就被各种各样的书塞满了。现在，只有书架的顶上还留有一点空间。

所有 \(N(1\le N\le 20,000)\) 头奶牛都有一个确定的身高 \(H_i(1\le H_i\le 10,000)\)。设所有奶牛身高的和为 \(S\)。书架的高度为 \(B\)，并且保证 \(1\le B\le S\lt 2,000,000,007\)。

为了够到比最高的那头奶牛还要高的书架顶，奶牛们不得不像演杂技一般，一头站在另一头的背上，叠成一座“奶牛塔”。当然，这个塔的高度，就是塔中所有奶牛的身高之和。为了往书架顶上放东西，所有奶牛的身高和必须不小于书架的高度。

显然，塔中的奶牛数目越多，整座塔就越不稳定，于是奶牛们希望在能够到书架顶的前提下，让塔中奶牛的数目尽量少。现在，奶牛们找到了你，希望你帮她们计算这个最小的数目。

【输入】

• 第 \(1\) 行： \(2\) 个用空格隔开的整数：\(N\) 和 \(B\)；
• 第 \(2\dots N+1\) 行：第 \(i+1\) 行是 \(1\) 个整数：\(H_i\)。

【输出】

第 \(1\) 行：输出 \(1\) 个整数，即最少要多少头奶牛叠成塔，才能够到书架顶部

【输入样例】

6 40
6
18
11
13
19
11

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 头奶牛的身高 \(H_i\) 和书架高度 \(B\)，要求选出最少数量的奶牛，使其身高之和 \(\ge B\)。这是一个贪心问题，关键在于每次选择当前最高的奶牛，以最快速度达到目标高度。

2. 算法选择：

   • 贪心策略（Greedy）：每次选择剩余奶牛中身高最高的，直到累计身高 \(\ge B\)
   • 降序排序：将奶牛按身高从大到小排序，依次选取前 \(k\) 头

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(N\)（奶牛数量）、\(B\)（书架高度），以及 \(H[1..N]\)（每头奶牛的身高）
   • 降序排序：将数组 \(H\) 按从大到小排序，排序后 \(H_1 \ge H_2 \ge \dots \ge H_N\)
   • 贪心选取：
     • 初始化累计高度 \(\text{tmp} = 0\)，答案计数 \(\text{ans} = 0\)
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)：
       • \(\text{tmp} += H_i\)：将当前最高奶牛的身高加入累计高度
       • \(\text{ans}++\)：奶牛数量加 \(1\)
       • 若 \(\text{tmp} \ge B\)，则立即跳出循环，输出 \(\text{ans}\)
   • 输出答案 \(\text{ans}\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，主要来自排序操作，贪心遍历为 \(O(N)\)
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储 \(N\) 头奶牛的身高

5. 贪心算法的核心思想：

   • 局部最优即全局最优：每次选最高的奶牛，确保用最少的数量最快达到目标高度
   • 排序预处理：通过降序排序将"选最高"转化为"依次取前 \(k\) 个"
   • 正确性证明：假设最优解选了 \(k\) 头奶牛，若存在某头未选奶牛比已选某头更高，交换后不会增加数量，因此选最高的 \(k\) 头一定最优
   • 适用场景：目标是最小化选取数量，且每个元素的贡献可叠加（如求和）
   • 适用于"用最少数量的元素使总和达到阈值"类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, b, ans=0, tmp=0, a[20005];
bool cmp(int l, int r) {  // 定义cmp函数
    return l>r;  // 返回更大的值
}
int main()
{
    cin >> n >> b;  // 输入a和b
    for (int i=1; i<=n; i++) cin >> a[i];  // 输入n头奶牛的高度
    sort(a+1, a+n+1, cmp);  // 按照从大到小进行排序
    while (tmp<b) {  // 当奶牛的身高之和小于书架高度时
        ans++;  // 再增加一头奶牛
        tmp+=a[ans];  // 并得到奶牛的身高之和
    }
    cout << ans;  // 输出奶牛的头数
    return 0;
}

【运行结果】

6 40
6
18
11
13
19
11
3