题解：洛谷 P2616 Buying Feed, II

【题目来源】

洛谷：P2616 [USACO10JAN] Buying Feed, II S - 洛谷

【题目描述】

FJ 开车来到镇上，他要带 \(K\) 吨饲料回家。运送饲料是需要花钱的，如果他的车上有 \(X\) 吨饲料，开车 \(D\) 公里就需要 \(D×X\) 元。FJ 可以从 \(N\) 家商店购买饲料，所有商店都在一个坐标轴上，第 \(i\) 家店的位置是 \(X_i\)，饲料的售价为每吨 \(C_i\) 元，库存为 \(F_i\)。

这个镇上有 \(N(1 \le N \le 100)\) 家商店（编号为 \(1 \sim N\)）售卖饲料，所有商店都在一个长度为 \(E(1 \le E \le 350)\) 的 \(X\) 轴上。第 \(i\) 个商店位于数轴上 \(X_i\) 的位置，最多可以售卖给 FJ \(F_i(1 \le F_i \le 100)\) 吨饲料，花费为 \(C_i(1 \le C_i \le 10^6)\) 元每吨。奇妙的是，\(X\) 轴上同一个坐标可能不只有一家商店。

FJ 从坐标为 \(0\) 的地方出发并且只能向前走，直到到达坐标为 \(E\) 的地方，并且需要买到 \(K\) 吨饲料。他可以在沿途任意一家商店停下来买饲料。

请你求出 FJ 购买并运输 \(K\) 吨饲料的最小花费是多少。

【输入】

• 第一行：三个整数 \(K\)，$ E $ 和 $ N \(，\) 1\leq K \leq 100 \(，\) 1\leq E \leq 350 \(，\) 1\leq N \leq 100 $；
• 第二行到第 $ N + 1 $ 行：第 $ i + 1 $ 行有三个整数 $ X_i \(，\) F_i $ 和 $ C_i $，$0 < X_i < E $，$1\leq F_i \leq 100 $，\(1\leq C_i \leq 10^6\)。

【输出】

一个整数，表示购买并运送饲料的最小花费。

【输入样例】

2 5 3
3 1 2
4 1 2
1 1 1

【输出样例】

7

【核心思想】

1. 问题分析：FJ 需要从坐标 \(0\) 走到 \(E\)，沿途在 \(N\) 家商店购买 \(K\) 吨饲料。运输费用与载重和距离成正比（\(D \times X\)），购买费用为每吨 \(C_i\)。求最小总花费。本质上是贪心排序问题：将购买费用和运输费用合并为"实际单位费用"，按实际费用从小到大贪心购买。

2. 算法选择：

   • 实际费用计算：在位置 \(X_i\) 购买 \(1\) 吨饲料并运到终点 \(E\) 的总费用 = 购买费 \(C_i\) + 运输费 \((E - X_i)\)
   • 贪心排序：按实际单位费用 tot = C_i + (E - X_i) 升序排序，优先购买费用低的商店

3. 关键步骤：

   • 读取数据：读入 \(K, E, N\) 和 \(N\) 家商店的信息 \((X_i, F_i, C_i)\)
   • 计算实际费用：\(p[i].tot = C_i + (E - X_i)\)
   • 排序：按 tot 升序排列
   • 贪心购买（\(i = 1\) 到 \(N\)）：
     • 若 \(K > F_i\)：全部购买，sum += tot * F_i，\(K \leftarrow K - F_i\)
     • 否则：购买剩余 \(K\) 吨，sum += tot * K，\(K = 0\)，结束
   • 输出 \(sum\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，排序主导
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储商店信息

5. 贪心排序的核心思想：

   • 费用合并：将购买和运输两种费用合并为"从该商店购买并运到终点的单位总费用"，问题转化为简单的资源采购
   • 贪心最优性：实际费用低的商店优先购买，保证每单位饲料的花费最小，全局最优
   • 库存约束：每家商店有库存上限 \(F_i\)，可能需要在多家商店分散购买
   • 终点运输的隐含性：所有饲料最终都要运到 \(E\)，因此在 \(X_i\) 购买的饲料必然运输 \((E - X_i)\) 距离
   • 适用于资源采购、费用合并、贪心选择类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k, e, n, sum=0;
struct node {
    int x, f, c, tot;
}p[105];
bool cmp(node x, node y)
{
    return x.tot<y.tot;
}
int main()
{
    cin >> k >> e >> n;  // 输入k、e和n
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 遍历n个商店
        cin >> p[i].x >> p[i].f >> p[i].c;  // 输入其x、f和c
        p[i].tot = p[i].c + (e-p[i].x);  // 并计算实际的费用
    }
    sort(p+1, p+n+1, cmp);  // 按照tot从小到大排序
    for (int i=1; i<=n; i++){  // 遍历n个商店
        if (k>p[i].f) {  // 如果k大于某个商店的份数
            sum += p[i].tot * p[i].f;  // 则将这个商店的所有份数加上
            k -= p[i].f;  // 更新k
        } else {  // 否则说明商店的份数多了
            sum += p[i].tot * k;  // 则只算上某商店k份的实际费用
            k = 0;  // 更新k
            break;  // 并不再计算
        }
    }
    cout << sum << endl;  // 计算费用总和
    return 0;
}

【运行结果】

2 5 3
3 1 2
4 1 2
1 1 1
7