题解：洛谷 P1697 Lifeguards

【题目来源】

【题目描述】

Farmer John 为他的奶牛们开设了一个游泳池，认为这将帮助它们放松并产更多的奶。

为了确保安全，他雇佣了 $N$ 头奶牛作为救生员，每头奶牛的班次覆盖一天中的某个连续时间段。为简单起见，游泳池每天从时间 $t=0$ 开放到时间 $t=1000$，因此每个班次可以用两个整数描述，分别表示奶牛开始和结束其班次的时间。例如，一头救生员从时间 $t=4$ 开始到时间 $t=7$ 结束，覆盖了 $3$ 个单位的时间（注意端点表示时间点）。

不幸的是，Farmer John 多雇佣了 $1$ 名救生员，超出了他的资金支持范围。鉴于他必须解雇恰好 $1$ 名救生员，剩下的救生员的班次能够覆盖的最长时间是多少？如果至少有一名救生员在场，则某个时间段被视为被覆盖。

【输入】

输入的第一行包含 $N（1≤N≤100）$。接下来的 $N$ 行每行描述一名救生员，用两个范围在 $0…1000$ 的整数表示该救生员班次的开始和结束时间。所有端点都是唯一的。不同救生员的班次可能会重叠。

【输出】

请输出一个数字，表示如果 Farmer John 解雇 $1$ 名救生员后，剩下的救生员的班次能够覆盖的最长时间。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 $N$ 个救生员的班次区间 $[a_i, b_i)$，必须解雇恰好 $1$ 名，求剩余班次覆盖的最长时间。本质上是差分统计 + 枚举移除问题：先统计每个时间点被覆盖的次数，再枚举移除每个救生员，计算其独有的覆盖贡献，总覆盖减去该贡献即为移除后的覆盖时间。
算法选择：
- 差分数组：$B[j]$ 记录时间点 $j$ 被覆盖的次数
- 枚举移除：对每个救生员 $i$，计算其覆盖范围内 $B[j] = 1$ 的点的数量（即只有该救生员覆盖的点），总覆盖减去该值即为移除后的覆盖时间
关键步骤：
- 读取数据：读入 $N$ 和 $N$ 个区间 $[a_i, b_i)$
- 差分统计：对每个区间 $[a_i, b_i)$，$B[j] \leftarrow B[j] + 1$（$j = a_i$ 到 $b_i-1$）
- 计算总覆盖：$sum = $ 满足 $B[i] > 0$ 的 $i$ 的个数（$0 \leq i \leq 1000$）
- 枚举移除（$i = 1$ 到 $N$）：
  - $cnt = $ 区间 $[a_i, b_i)$ 中满足 $B[j] = 1$ 的 $j$ 的个数
  - $ans = \max(ans, sum - cnt)$
- 输出 $ans$
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：$O(N \cdot T)$，$T = 1000$ 为时间轴长度
- 空间复杂度：$O(T)$，差分数组
差分统计的核心思想：
- 覆盖次数的量化：$B[j]$ 表示时间点 $j$ 被多少个救生员覆盖，$B[j] = 1$ 意味着该点只有当前救生员覆盖
- 移除的影响：移除救生员 $i$ 后，其独有的覆盖点（$B[j] = 1$）将不再被覆盖，而与其他救生员共同覆盖的点（$B[j] \geq 2$）仍然被覆盖
- 时间轴的离散性：时间范围 $0$ 到 $1000$ 较小，直接开数组统计即可，无需离散化
- 左闭右开区间：题目中端点表示时间点，区间 $[a, b)$ 覆盖 $b-a$ 个单位时间
- 适用于区间覆盖、差分统计、枚举优化类问题

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n;                      // 区间数量
int B[1005];                // 记录每个整数点被覆盖的次数
int sum;                    // 统计被至少覆盖一次的点的总数
int a[105], b[105];         // 存储每个区间的起始和结束点
int ans;                    // 最终结果（最大覆盖点数）
int cnt;                    // 临时计数器

int main()
{
    cin >> n;               // 输入区间数量

    // 处理每个区间，统计覆盖情况
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i] >> b[i];  // 输入区间[a[i], b[i])

        // 标记区间内的所有点（左闭右开）
        for (int j = a[i]; j < b[i]; j++)
            B[j]++;
    }

    // 计算被至少覆盖一次的点的总数
    for (int i = 0; i <= 1000; i++)
        if (B[i])           // 如果该点被覆盖过
            sum++;

    // 计算移除每个区间后能保留的最大覆盖点数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cnt = 0;
        // 统计当前区间中只被覆盖一次的点数
        for (int j = a[i]; j < b[i]; j++)
            if (B[j] == 1)  // 只被当前区间覆盖的点
                cnt++;

        // 更新最大值：总覆盖点数 - 当前区间独有的覆盖点数
        ans = max(ans, sum - cnt);
    }

    cout << ans << endl;    // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-17 09:45 团爸讲算法阅读(14) 评论(0) 收藏举报

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