题解：洛谷 P14359 异或和
【题目来源】
洛谷：P14359 [CSP-J 2025] 异或和 / xor（民间数据） - 洛谷
【题目描述】
小 R 有一个长度为 \(n\) 的非负整数序列 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)。定义一个区间 \([l, r]\) (\(1 \leq l \leq r \leq n\)）的权值为 \(a_l, a_{l+1}, \dots, a_r\) 的二进制按位异或和，即 \(a_l \oplus a_{l+1} \oplus \dots \oplus a_r\)，其中 \(\oplus\) 表示二进制按位异或。
小 X 给了小 R 一个非负整数 \(k\)。小 X 希望小 R 选择序列中尽可能多的不相交的区间，使得每个区间的权值均为 \(k\)。两个区间 \([l_1, r_1], [l_2, r_2]\) 相交当且仅当两个区间同时包含至少一个相同的下标，即存在 \(1 \leq i \leq n\) 使得 \(l_1 \leq i \leq r_1\) 且 \(l_2 \leq i \leq r_2\)。
例如，对于序列 \([2, 1, 0, 3]\)，若 \(k = 2\)，则小 R 可以选择区间 \([1, 1]\) 和区间 \([2, 4]\)，权值分别为 \(2\) 和 \(1 \oplus 0 \oplus 3 = 2\)；若 \(k = 3\)，则小 R 可以选择区间 \([1, 2]\) 和区间 \([4, 4]\)，权值分别为 \(1 \oplus 2 = 3\) 和 \(3\)。
你需要帮助小 R 求出他能选出的区间数量的最大值。
【输入】
输入的第一行包含两个非负整数 \(n, k\)，分别表示小 R 的序列长度和小 X 给小 R 的非负整数。
输入的第二行包含 \(n\) 个非负整数 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)，表示小 R 的序列。
【输出】
输出一行一个非负整数，表示小 R 能选出的区间数量的最大值。
【输入样例】
4 2
2 1 0 3
【输出样例】
2
【核心思想】
-
问题分析：给定长度为 \(n\) 的非负整数序列 \(a_1, \dots, a_n\) 和目标值 \(k\)，求最多能选出多少个互不相交的区间，使得每个区间的异或和等于 \(k\)。本质上是前缀异或和 + 贪心扫描问题：利用异或前缀和将区间异或转化为两点异或，贪心地在找到合法区间后立即分割，为后续区间创造空间。
-
算法选择：
- 前缀异或和：\(sa[i] = a_1 \oplus a_2 \oplus \dots \oplus a_i\)，则区间 \([l, r]\) 的异或和为 \(sa[r] \oplus sa[l-1]\)
- 哈希表定位：用
map记录每个前缀异或和最后一次出现的位置，快速查找满足 \(sa[r] \oplus sa[l-1] = k\) 即 \(sa[l-1] = sa[r] \oplus k\) 的分割点 - 贪心分割：一旦找到合法区间，立即计数并清空哈希表重新开始，保证区间互不相交且数量最大化
-
关键步骤：
- 读取数据：读入 \(n, k\) 和序列 \(a[1..n]\)
- 计算前缀异或和：\(sa[i] = sa[i-1] \oplus a[i]\)
- 初始化：
mp[0] = 0（前缀和为 \(0\) 的位置在索引 \(0\)），last_r = 0，ans = 0 - 贪心扫描（\(r = 1\) 到 \(n\)）：
- \(t = sa[r] \oplus k\)（目标前缀异或和）
- 若
mp中存在 \(t\) 且mp[t] >= last_r：- 找到合法区间 \([mp[t]+1, r]\)，
ans++ last_r = r（更新最后一个区间的右端点）mp.clear()，mp[sa[r]] = r（清空后重新开始）
- 找到合法区间 \([mp[t]+1, r]\)，
- 否则：
mp[sa[r]] = r（记录当前前缀和位置）
- 输出 \(ans\)
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，每次
map操作 \(O(\log n)\) - 空间复杂度：\(O(n)\)，哈希表存储
- 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，每次
-
贪心 + 前缀异或的核心思想：
- 异或前缀和转化：\(a_l \oplus \dots \oplus a_r = sa[r] \oplus sa[l-1]\)，将区间查询转化为两点查询
- 贪心最优性：找到合法区间后立即分割，避免该区间与后续区间重叠，这是最大化数量的关键（区间越长越可能阻塞后续区间，但贪心取最早可行的分割点已足够）
- 清空策略的必要性：清空哈希表保证后续区间严格在
last_r之后开始，确保互不相交 - \(mp[0] = 0\) 的初始化：处理从第 \(1\) 个元素开始的区间，\(sa[0] = 0\) 作为虚拟前缀
- 适用于区间划分、异或性质、贪心最大化类问题
【算法标签】
普及 #贪心
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
/*
* 算法思路：
* 贪心策略：如果当前区间满足要求，就直接单独成段，为后面有用的格子创建空间
* 异或和优化：使用前缀异或和来避免重复计算
* 核心原理：异或和的奇偶性由1的个数决定（奇数个1，异或和为1；偶数个1，异或和为0）
* 查找技巧：利用异或的交换性，查找满足 sa[r] ^ sa[l-1] = k 的区间
*/
#define int long long // 使用长整型防止溢出
const int N = 500005; // 定义最大数组长度
int n, k; // n:数组长度, k:目标异或值
int a[N]; // 原始数组
int sa[N]; // 前缀异或和数组，sa[i] = a[1]^a[2]^...^a[i]
int last_r; // 记录上一个分段的右端点
int ans; // 分段数量
map<int, int> mp; // 哈希表，记录前缀异或和最后一次出现的位置
signed main() // 使用signed代替int（因为定义了#define int long long）
{
// 输入数组长度和目标异或值
cin >> n >> k;
// 计算前缀异或和
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i];
sa[i] = sa[i - 1] ^ a[i]; // 计算前缀异或和
}
// 初始化：前缀和为0的位置在索引0处
mp[0] = 0;
// 遍历数组，寻找最优分段
for (int r = 1; r <= n; r++)
{
// 计算需要查找的前缀和：sa[r] ^ k = sa[l-1]
int t = sa[r] ^ k;
// 检查是否存在满足条件的分割点
if (mp.count(t) && mp[t] >= last_r)
{
// 找到有效的分段点
ans++; // 分段数量加1
last_r = r; // 更新上一个分段的右端点
// 清空哈希表，重新开始记录（贪心策略）
mp.clear();
// 记录当前前缀和的位置
mp[sa[r]] = r;
}
else
{
// 未找到分段点，记录当前前缀和的位置
mp[sa[r]] = r;
}
}
// 输出最大分段数量
cout << ans << endl;
return 0;
}
【运行结果】
4 2
2 1 0 3
2
【算法真传】
浙公网安备 33010602011771号