题解：洛谷 P2911 Bovine Bones

【题目来源】

洛谷：P2911 [USACO08OCT] Bovine Bones G - 洛谷

【题目描述】

Bessie 喜欢桌游和角色扮演游戏，所以她说服了 Farmer John 驾车送她去爱好商店，在那里她购买了三个用于掷骰子的骰子。这些公平的骰子分别有 \(S_1\)、\(S_2\) 和 \(S_3\) 个面（\(2 \leq S_1 \leq 20\)；\(2 \leq S_2 \leq 20\)；\(2 \leq S_3 \leq 40\)），上面分别包含 \(1\) 到 \(S_1\)，\(S_2\) 和 \(S_3\) 之间的所有整数。Bessie 不断地掷骰子，试图找出哪个三个骰子的点数和出现得最频繁。如果有多个和出现得最频繁，输出其中最小的和。

【输入】

第 1 行：三个用空格分隔的整数：\(S_1\)、\(S_2\) 和 \(S_3\)。

【输出】

第 1 行：当骰子以每种可能的组合掷出时，出现次数最多的最小整数和。

【输入样例】

3 2 3

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定三个骰子的面数 \(S_1, S_2, S_3\)，每个骰子掷出 \(1\) 到 \(S_i\) 的整数，求三个骰子点数和出现次数最多的最小值。由于 \(S_i \leq 40\)，总组合数最多 \(20 \times 20 \times 40 = 16000\)，直接枚举所有组合统计即可。本质上是暴力枚举 + 计数问题。

2. 算法选择：

   • 三重循环枚举：遍历所有 \((i, j, k)\) 组合，\(i \in [1, S_1]\)，\(j \in [1, S_2]\)，\(k \in [1, S_3]\)
   • 频数统计：用数组 \(a[sum]\) 记录点数和 \(sum = i + j + k\) 的出现次数

3. 关键步骤：

   • 读取数据：读入 \(S_1, S_2, S_3\)
   • 枚举所有组合：
     • \(i = 1\) 到 \(S_1\)，\(j = 1\) 到 \(S_2\)，\(k = 1\) 到 \(S_3\)
     • \(a[i + j + k] \leftarrow a[i + j + k] + 1\)
   • 找最大频数的最小和：
     • 初始化 \(max = a[3]\)，\(ans = 3\)（最小可能和为 \(3\)）
     • 遍历 \(i = 3\) 到 \(S_1 + S_2 + S_3\)：
       • 若 \(a[i] > max\)，更新 \(max = a[i]\)，\(ans = i\)
   • 输出 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(S_1 \cdot S_2 \cdot S_3)\)，最多 \(16000\) 次枚举
   • 空间复杂度：\(O(S_1 + S_2 + S_3)\)，频数数组大小

5. 暴力枚举的核心思想：

   • 数据范围决定算法：\(S_3 \leq 40\) 使得总组合数极小，无需任何优化技巧，直接枚举即可
   • 频数数组的索引设计：和的范围为 \([3, S_1+S_2+S_3]\)，直接以和值为下标，\(O(1)\) 统计
   • 最小和的处理：遍历从小到大，遇到更大频数才更新，保证相同频数时取最小和
   • 骰子公平性：每个面等概率，枚举即等权重统计，无需额外概率计算
   • 适用于小范围枚举、频数统计、概率分布类问题

【解题思路】

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

int main()
{
    int s1, s2, s3;      // 定义变量：三个骰子的面数
    int a[85] = {0};     // 定义数组：统计各点数出现的次数（初始化为0）

    cin >> s1 >> s2 >> s3;  // 输入三个骰子的面数

    // 三重循环遍历所有可能的骰子组合
    for (int i = 1; i <= s1; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= s2; j++)
        {
            for (int k = 1; k <= s3; k++)
            {
                a[i + j + k]++;  // 统计当前点数出现的次数
            }
        }
    }

    // 初始化最大值和结果（最小可能的点数是3）
    int max = a[3];      // 当前最大出现次数
    int ans = 3;         // 对应的点数

    // 遍历所有可能的点数（从3到s1+s2+s3）
    for (int i = 3; i <= s1 + s2 + s3; i++)
    {
        // 如果当前点数出现次数更多，则更新最大值和结果
        if (a[i] > max)
        {
            max = a[i];  // 更新最大出现次数
            ans = i;     // 更新结果点数
        }
    }

    cout << ans;         // 输出出现次数最多的点数

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

3 2 3
5