题解：洛谷 P1879 Corn Fields

【题目来源】

洛谷：P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G - 洛谷

【题目描述】

农场主 John 新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成 \(M\) 行 \(N\) 列（\(1≤M≤12,1≤N≤12\))，每一格都是一块正方形的土地。John 打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。

遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是 John 不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。

John 想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）

【输入】

第一行：两个整数 \(M\) 和 \(N\)，用空格隔开。

第 \(2\) 到第 \(M+1\) 行：每行包含 \(N\) 个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。第 \(i+1\) 行描述了第 \(i\) 行的土地，所有整数均为 \(0\) 或 \(1\) ，是 \(1\) 的话，表示这块土地足够肥沃，\(0\) 则表示这块土地不适合种草。

【输出】

一个整数，即牧场分配总方案数除以 \(100,000,000\) 的余数。

【输入样例】

2 3
1 1 1
0 1 0

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定一个 \(M \times N\)（\(M, N \leq 12\)）的网格，部分土地贫瘠不能种草，要求选中的肥沃土地两两不相邻（无公共边），求总方案数对 \(10^8\) 取模。本质上是状压 DP（状态压缩动态规划）问题：用二进制数表示每行的种植状态，逐行转移并保证行内和行间均不相邻。
算法选择：
- 状态压缩：每行的种植方案用一个 \(m\) 位二进制数 \(state\) 表示，第 \(j\) 位为 \(1\) 表示第 \(j\) 列种草
- 预处理合法状态：筛选出二进制表示中没有相邻 \(1\) 的状态（保证行内不相邻）
- 预处理转移关系：两个合法状态 \(a, b\) 可以上下相邻当且仅当 \((a \mathbin{\&} b) = 0\)（保证行间不相邻）
- 逐行 DP：\(f[i][a]\) 表示前 \(i\) 行且第 \(i\) 行状态为 \(a\) 的方案数
关键步骤：
- 读取数据：读入 \(n, m\) 和网格状态，\(g[i]\) 用二进制记录第 \(i\) 行的贫瘠土地（\(1\) 表示贫瘠）
- 预处理合法状态：枚举 \(0\) 到 \(2^m - 1\)，用 check(state) 筛选无相邻 \(1\) 的状态存入 state 数组
- 预处理转移：对每对合法状态 \((a, b)\)，若 \((a \mathbin{\&} b) = 0\)，则 \(b\) 可转移到 \(a\)
- DP 初始化：\(f[0][0] = 1\)（第 \(0\) 行不种植）
- DP 转移（\(i = 1\) 到 \(n+1\)）：
  - 枚举当前行状态 \(a\)
  - 若 \((g[i] \mathbin{\&} state[a]) \neq 0\)，跳过（在贫瘠土地种植）
  - 枚举上一行可转移状态 \(b \in head[a]\)：
    - \(f[i][a] = (f[i][a] + f[i-1][b]) \bmod mod\)
- 输出 \(f[n+1][0]\)（第 \(n+1\) 行不种植，汇总所有前 \(n\) 行方案）
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \cdot S^2)\)，\(S \leq 2^m \leq 4096\) 为合法状态数
- 空间复杂度：\(O(n \cdot S)\)，DP 数组
状压 DP 的核心思想：
- 二进制状态编码：用 \(m\) 位二进制数压缩每行的种植方案，将二维网格问题转化为一维状态转移
- 合法性分层检查：行内合法性预处理筛选，行间合法性通过位运算 \((a \mathbin{\&} b) = 0\) 快速判断
- 贫瘠土地约束：\(g[i]\) 记录贫瘠位置，与种植状态按位与判断是否冲突，将空间约束融入状态转移
- 虚拟第 \(n+1\) 行：通过强制第 \(n+1\) 行不种植，将"任意第 \(n\) 行状态"的方案数汇总到 \(f[n+1][0]\)，避免最后遍历求和
- 适用于棋盘覆盖、网格选择、相邻约束类组合计数问题

【算法标签】

提高+ #状压DP

【代码详解】

// 参考AcWing 327的题解（董晓的题解无法AC）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 14, M = 1 << 12, mod = 1e8;  // 定义常量：最大行数N，状态数M，模数
int n, m;  // 农田的行数n，列数m
int g[N];  // 记录每行土地是否肥沃（0肥沃，1贫瘠）
vector<int> state;  // 存储所有合法的种植状态（不相邻）
vector<int> head[M];  // 存储每个状态可以转移到的其他状态
int f[N][M];  // DP数组，f[i][j]表示前i行种植且第i行状态为j的方案数

// 检查状态是否合法（没有相邻的种植）
bool check(int state) {
    for (int i = 0; i < m; i++)
        if ((state >> i & 1) && (state >> (i + 1) & 1)  // 检查是否有相邻的1
            return false;
    return true;
}

int main() {
    cin >> n >> m;  // 输入农田的行数和列数

    // 读取农田数据并预处理每行的贫瘠土地
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 0; j < m; j++) {
            int t;
            cin >> t;  // 输入土地状态（0肥沃，1贫瘠）
            g[i] += !t << j;  // 将贫瘠土地的位置记录为1（使用位运算）
        }

    // 预处理所有合法的种植状态
    for (int i = 0; i < 1 << m; i++)
        if (check(i))
            state.push_back(i);

    // 预处理状态之间的转移关系
    for (int i = 0; i < state.size(); i++)
        for (int j = 0; j < state.size(); j++) {
            int a = state[i], b = state[j];
            if ((a & b) == 0)  // 检查状态a和b是否可以相邻（不冲突）
                head[i].push_back(j);
        }

    // 初始化DP数组：第0行不种植的方案数为1
    f[0][0] = 1;

    // 动态规划过程
    for (int i = 1; i <= n + 1; i++)  // 遍历每一行（多处理一行方便统计结果）
        for (int a = 0; a < state.size(); a++)  // 遍历当前行的状态
            for (int b : head[a]) {  // 遍历可以转移到状态a的上一行状态b
                if (g[i] & state[a]) continue;  // 跳过在贫瘠土地上种植的状态
                f[i][a] = (f[i][a] + f[i - 1][b]) % mod;  // 状态转移
            }

    // 输出结果：前n+1行种植且第n+1行不种植的方案数（即前n行的总方案数）
    cout << f[n + 1][0] << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-15 19:48 团爸讲算法阅读(23) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P1879 Corn Fields

提高+ #状压DP

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