题解：洛谷 P2996 Visiting Cows

【题目来源】

【题目描述】

经过了几周的辛苦工作，Bessie 终于迎来了一个假期。

作为奶牛群中最会社交的牛，她希望去拜访 \(N(1 \le N \le 50000)\) 个朋友。这些朋友被标号为 \(1,2,\dots,N\)。这些奶牛有一个不同寻常的交通系统，里面有 \(N-1\) 条路，每条路连接了一对编号为 \(C_1\) 和 \(C_2\) 的奶牛 \((1 \le C_1 \le N, 1 \le C_2 \le N, C_1 \ne C_2)\)。这样，在每一对奶牛之间都有一条唯一的通路。

FJ 希望 Bessie 尽快的回到农场。于是，他就指示 Bessie：如果对于一条路直接相连的两个奶牛，Bessie 只能拜访其中的一个。当然，Bessie 希望她的假期越长越好，所以她想知道她可以拜访的奶牛的最大数目。

【输入】

第一行，\(1\) 个整数 \(N\)。

接下来 \(N - 1\) 行，每行 \(2\) 个整数 \(C_1,C_2\)，表示有一条通路连接了编号为 \(C_1\) 和 \(C_2\) 的奶牛。

【输出】

第一行，\(1\) 个整数，代表 Bessie 最多能拜访有多少头奶牛。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 个节点的树，要求选择尽可能多的节点，使得任意两个被选节点之间没有直接相连的边（即独立集）。这是一个经典的树形 DP 问题，核心在于每个节点只有"选"或"不选"两种状态，且相邻节点不能同时选。
算法选择：
- 树形 DP：\(f[u][0/1]\) 表示以 \(u\) 为根的子树中，\(u\) 不选（\(0\)）或选（\(1\)）时的最大独立集大小
- DFS 遍历：从根节点出发，递归处理每个子树
关键步骤：
- 初始化：读取 \(N\) 和 \(N-1\) 条边，建立无向邻接表，找根节点（无父节点的节点）
- DFS 状态转移（节点 \(u\)，父节点 \(fa\)）：
  - \(f[u][1] = 1\)（选 \(u\)，至少包含 \(u\) 自己）
  - 遍历 \(u\) 的所有邻接节点 \(v\)（跳过父节点 \(fa\)）：
    - 递归 \(dfs(v, u)\)
    - \(f[u][0] += \max(f[v][0], f[v][1])\)（\(u\) 不选，\(v\) 可选可不选，取较大值）
    - \(f[u][1] += f[v][0]\)（\(u\) 选，\(v\) 不能选）
- 输出答案：\(\max(f[root][0], f[root][1])\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N)\)，每个节点访问一次，每条边处理一次
- 空间复杂度：\(O(N)\)，邻接表和 DP 数组
树形 DP 的核心思想：
- 状态设计：每个节点只有两种状态，子问题相互独立（子树之间互不影响）
- 父子约束：选父节点则不能选子节点，不选父节点则子节点可选可不选
- 后序遍历：先递归处理所有子节点，再处理当前节点，确保子树状态已计算完毕
- 最优子结构：以 \(u\) 为根的子树的最优解仅依赖于各子树的最优解
- 适用于树的最大独立集、树的最小点覆盖、树的最小支配集类问题

【算法标签】

普及 #树形DP

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 50005; // 最大奶牛数量
int n; // n:奶牛数量（也是树的节点数）
vector<int> g[N]; // g[u]:节点u的邻接表
int f[N][2]; // f[u][0/1]:以u为根的子树中，u不选(0)/选(1)时的最大拜访数
bool st[N]; // st[i]:标记节点i是否有父节点（用于找根）

// 树形DP：dfs遍历整棵树
void dfs(int u, int fa) // u:当前节点, fa:父节点
{
    f[u][1] = 1; // 如果选u，至少可以拜访u自己
    for (int i=0; i<g[u].size(); i++) // 遍历u的所有子节点
    {
        int v = g[u][i]; // v:u的邻接节点
        if (v==fa) continue; // 跳过父节点，避免回溯
        dfs(v, u); // 递归处理子树
        // 状态转移：u不选时，子节点v可选可不选，取较大值
        f[u][0] += max(f[v][0], f[v][1]);
        // 状态转移：u选时，子节点v不能选（相邻不能同时选）
        f[u][1] += f[v][0];
    }
}

int main()
{
    cin >> n; // 读入奶牛数量
    for (int i=1; i<n; i++) // 读入n-1条边
    {
        int c1, c2;
        cin >> c1 >> c2;
        g[c1].push_back(c2); // 无向图，双向建边
        g[c2].push_back(c1);
        st[c2] = true; // 标记c2有父节点（c1是c2的父节点之一）
    }

    // 找树的根节点：没有父节点的节点
    int root = 1;
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (!st[i]) // 如果节点i没有父节点
        {
            root = i;
            break;
        }

    dfs(root, 0); // 从根节点开始DFS

    // 答案：根节点选或不选的最大值
    cout << max(f[root][0], f[root][1]) << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-13 14:14 团爸讲算法阅读(7) 评论(0) 收藏举报

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普及 #树形DP

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