题解：洛谷 P2989 Need For Speed

【题目来源】

洛谷：P2989 [USACO10MAR] Need For Speed S

【题目描述】

Bessie 正在为即将到来的赛车比赛作准备。

她有一辆赛车，质量为 \(M\)，且可以提供 \(F\) 的力。现在她想要给这辆赛车安装一些零件（总共有 \(N\) 个零件），每个零件具有属性 \(M_i\) 和 \(F_i\)，表示其质量以及可以提供的力。

设 \(X_i = 1\) 或 \(0\)，表示第 \(i\) 个零件选或不选。在最大化

\[\dfrac{F+\sum_{i=1}^{n}X_i \cdot F_i}{M+\sum_{i=1}^{n}X_i \cdot M_i} \]

的前提下最小化

\[\sum_{i=1}^{n}X_i \cdot M_i + M. \]

【输入】

第一行是三个用空格分开的正整数 \(F,\,M,\,N\)。

接下来 \(N\) 行，每行两个用空格分开的正整数，第 \(i+1\) 行的两个数代表 \(F_i\) 和 \(M_i\)。

【输出】

输出包含 \(P\) 行，表示 Bessie 需要安装的 \(P\) 个零件的下标。若 Bessie 不需要给这辆车安装零件，输出 NONE。

输出应按递增顺序给出，如果最佳零件集为 \(\{2,4,6,7\}\)，则输出应按 \(2,4,6,7\) 的顺序，而不是 \(4,2,7,6\) 的顺序。解决方案将是唯一的。

【输入样例】

1500 100 4
250 25
150 9
120 5
200 8

【输出样例】

2
3
4

【核心思想】

1. 问题分析：给定赛车初始力 \(F\)、质量 \(M\)，以及 \(N\) 个零件（每个提供力 \(F_i\)、质量 \(M_i\)）。目标是最大化力质量比 \(\frac{F + \sum F_i}{M + \sum M_i}\)，在此基础上最小化总质量 \(M + \sum M_i\)。这是一个贪心问题，核心在于按零件的力质量比排序，选择能提升整体力质量比的零件。

2. 算法选择：

   • 贪心策略：按零件力质量比 \(r_i = F_i/M_i\) 降序排序，依次选择 \(r_i \geq\) 当前赛车力质量比的零件
   • 单调性保证：每次加入 \(r_i \geq\) 当前比值的零件，整体比值不会下降

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(F\)、\(M\)、\(N\)、\(N\) 个零件的 \((F_i, M_i)\)
   • 计算比值：\(r_i = F_i / M_i\)，记录原始编号
   • 排序：按 \(r_i\) 降序排序
   • 贪心选择（遍历排序后的零件）：
     • 若 \(r_i \geq F/M\)（当前赛车力质量比）：
       • 选中该零件，\(ans.push\_back(id)\)
       • 更新 \(F += F_i\)，\(M += M_i\)
   • 输出：按编号升序排序 \(ans\)，若为空输出 NONE

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log N)\)，排序 \(O(N \log N)\)，遍历 \(O(N)\)
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储零件信息

5. 贪心策略的核心思想：

   • 力质量比排序：优先选择"单位质量提供力"最高的零件，这是提升整体比值的关键
   • 单调性条件：仅当零件比值不低于当前整体比值时才选择，确保加入后整体比值不下降（加权平均的性质：加入一个不低于当前平均值的数，平均值不会下降）
   • 质量最小化：在满足最大比值的前提下，按比值排序后贪心选择的方案自然使总质量最小（因为比值高的零件质量效率更高，用更少的质量获得更大的比值提升）
   • 唯一解保证：题目保证解唯一，排序后贪心选择的顺序确定
   • 适用于比率优化、加权平均、贪心选择类问题
     【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10005; // 最大零件数量
int F, M, n; // F:赛车初始提供的力, M:赛车初始质量, n:可选零件数量
struct Node
{
    int id, f, m; // id:零件编号, f:零件提供的力, m:零件的质量
    double r; // r:零件的力质量比 Fi/Mi
}a[N];
vector<int> ans; // 存储选中的零件编号

// 按力质量比从大到小排序
bool cmp(Node x, Node y)
{
    return x.r > y.r;
}

int main()
{
    cin >> F >> M >> n; // 读入初始力、初始质量和零件数量
    double maxn = -1; // （未使用，保留原代码风格）
    for (int i=1; i<=n; i++) // 读入每个零件的属性
    {
        cin >> a[i].f >> a[i].m;
        a[i].id = i; // 记录原始编号
        a[i].r = 1.0 * a[i].f / a[i].m; // 计算力质量比
    }
    sort(a+1, a+n+1, cmp); // 按力质量比降序排序

    // 贪心策略：依次选择力质量比不低于当前赛车力质量比的零件
    // 这样可以保证每次加入零件后，整体力质量比不会下降
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        // 如果当前零件的力质量比不低于当前赛车的力质量比
        if (a[i].r >= 1.0 * F / M)
        {
            ans.push_back(a[i].id); // 选中该零件
            F = F + a[i].f; // 更新赛车的总力
            M = M + a[i].m; // 更新赛车的总质量
        }
    }

    // 按原始编号递增顺序输出选中的零件
    sort(ans.begin(), ans.end());
    if (ans.size()==0) // 如果没有选中任何零件
        cout << "NONE" << endl;
    else
        for (auto t : ans)
            cout << t << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

1500 100 4
250 25
150 9
120 5
200 8
2
3
4