题解：洛谷 P1004 方格取数

【题目来源】

洛谷：P1004 [NOIP 2000 提高组] 方格取数 - 洛谷

【题目描述】

设有 \(N\times N\) 的方格图（\(N\le 9\))，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 \(0\)。如下图所示（见样例）:

某人从图的左上角的 \(A\) 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 \(B\) 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 \(0\)）。
此人从 \(A\) 点到 \(B\) 点共走两次，试找出 \(2\) 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

【输入】

输入的第一行为一个整数 \(N\)（表示 \(N\times N\) 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 \(0\) 表示输入结束。

只需输出一个整数，表示 \(2\) 条路径上取得的最大的和。

【输出】

只需输出一个整数，表示 \(2\) 条路径上取得的最大的和。

【输入样例】

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

【输出样例】

67

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N \times N\) 方格图，从左上角 \((1,1)\) 到右下角 \((N,N)\) 走两次（每次只能向下或向右），取走经过方格中的数（取走后变为 \(0\)）。求两条路径取得的最大数字之和。这是一个四维线性 DP 问题，核心在于将两条路径同步处理，状态记录两条路径的当前位置。

2. 算法选择：

   • 四维 DP：\(dp[i][j][k][l]\) 表示第一条路径走到 \((i,j)\)、第二条路径走到 \((k,l)\) 时的最大和
   • 同步推进：两条路径同时从 \((1,1)\) 出发，每步各向下或向右走一格，因此 \(i+j = k+l\)（步数相同）

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(N\) 和网格数据 \(a[x][y]\)，\(dp\) 数组初始化为 \(0\)
   • 四维 DP 递推（\(i, j, k, l\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
     • 仅当 \(i + j = k + l\) 时处理（保证两条路径步数同步）
     • 状态转移：两条路径上一步各有 \(2\) 种选择（从上方或左方来），共 \(4\) 种组合：
       • 路径1从 \((i-1,j)\) 来，路径2从 \((k-1,l)\) 来：\(dp[i-1][j][k-1][l]\)
       • 路径1从 \((i-1,j)\) 来，路径2从 \((k,l-1)\) 来：\(dp[i-1][j][k][l-1]\)
       • 路径1从 \((i,j-1)\) 来，路径2从 \((k-1,l)\) 来：\(dp[i][j-1][k-1][l]\)
       • 路径1从 \((i,j-1)\) 来，路径2从 \((k,l-1)\) 来：\(dp[i][j-1][k][l-1]\)
     • \(dp[i][j][k][l] = \max(\text{四种组合}) + a[i][j] + a[k][l]\)
     • 去重：若 \((i,j) = (k,l)\)（两条路径重合），该格子的数只取一次，减去 \(a[k][l]\)
   • 输出答案：\(dp[N][N][N][N]\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N^4)\)，四层循环，\(N \leq 9\) 时完全可接受
   • 空间复杂度：\(O(N^4)\)，四维 DP 数组

5. 线性 DP 的核心思想：

   • 同步状态设计：将两条路径的行走过程同步化，用四维状态同时记录两条路径的位置，避免分别计算后处理重叠的复杂性
   • 步数一致性约束：\(i+j = k+l\) 确保两条路径走了相同的步数，这是同步推进的关键
   • 四种转移全覆盖：每条路径各有 \(2\) 种来向，组合成 \(4\) 种转移，取最大值保证最优性
   • 重叠处理：两条路径经过同一格子时，该格子的值只应被计算一次，通过判断 \((i,j) = (k,l)\) 并减去重复值实现
   • 降维优化：可利用 \(i+j = k+l = s\) 将四维降为三维 \(dp[s][i][k]\)，但四维写法更直观
   • 适用于多路径同步、网格行走、重叠去重类 DP 问题

【解题思路】

【算法标签】

普及+ #线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[15][15];          // 存储网格中的数值
int dp[15][15][15][15];  // 四维DP数组，记录两条路径的最大和
int n, x, y, num;        // n: 网格大小，x/y: 坐标，num: 数值

/**
 * 辅助函数：返回四个数中的最大值
 */
int f(int a, int b, int c, int d)
{
    return max(max(a, b), max(c, d));
}

int main()
{
    // 输入网格大小n
    cin >> n;

    // 输入网格数据，直到遇到x=0结束
    while (cin >> x >> y >> num && x)
    {
        a[x][y] = num;
    }

    // 动态规划计算两条路径的最大和
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            for (int k = 1; k <= n; k++)
            {
                for (int l = 1; l <= n; l++)
                {
                    // 确保两条路径同步前进（i+j == k+l）
                    if (i + j == k + l)
                    {
                        // 状态转移：取四种可能的最大值加上当前两个点的值
                        dp[i][j][k][l] = f(dp[i-1][j][k-1][l],
                                          dp[i-1][j][k][l-1],
                                          dp[i][j-1][k-1][l],
                                          dp[i][j-1][k][l-1])
                                          + a[i][j] + a[k][l];

                        // 如果两条路径重合，减去重复计算的值
                        if (i == k && j == l)
                        {
                            dp[i][j][k][l] -= a[k][l];
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }

    // 输出最终结果（原代码缺少输出语句，这里保持原样）
    return 0;
}

【运行结果】

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0
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