题解：洛谷 P2988 Test Taking

【题目来源】

洛谷：P2988 [USACO10MAR] Test Taking S

【题目描述】

农夫约翰需要参加一年一度的农民资格考试。考试很简单，只有 \(N\) 道判断题（\(1 \le N \le 10^6\)）。然而约翰去年考试却“杯具”了，贝茜希望今年能帮帮他。

贝茜得到可靠的小道消息，答案为 true 的题目数量一定是 \(t_1, t_2, t_3, \dots, t_K\) 中的一个（\(0 \le t_i \le N\)，\(0 \le K \le 10^4\)）。但具体是哪几道题的答案为 true，她完全不知道。

约翰想要知道，在认真研究了这些内部消息后（虽然不能确定任何一道题的具体答案），他保证能获得的最高的分数是多少？

为了说明贝茜的想法，考虑 \(N = 6\) 的一次考试，贝茜知道答案为 true 的题的数量可能是 0 或者 3。

约翰可以这样制定策略：

• 如果约翰全部答 false：
  • 当实际有 0 道题的正确答案是 true 时，约翰答对 6 题；
  • 当实际有 3 道题的正确答案是 true 时，约翰答对 3 题。

因此，只要约翰全部答 false，那么至少一定能答对 3 题，尽管他不知道每道题的确切答案。

【输入】

• 第一行：两个整数 \(N\) 和 \(K\)
• 第二行到第 \(K+1\) 行：每行一个整数 \(t_i\)

【输出】

• 一行：一个整数，表示约翰采用最优策略时，保证能获得的最高分数

【输入样例】

6 2
0
3

【输出样例】

3

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(N\) 道判断题，答案为 true 的题目数量一定是 \(t_1, t_2, \dots, t_K\) 中的某一个。约翰需要制定答题策略（确定每道题答 true 或 false），使得在最坏情况下（即 true 数量取使得分最低的那个 \(t_i\)）的得分尽可能高。这是一个博弈论/最优化问题，核心在于分析三种策略（全 false、全 true、混合策略）的最坏情况。

2. 算法选择：

   • 分类讨论 + 贪心：分析三种策略的最坏情况，取最大值
   • 排序：将可能的 true 数量排序，便于分析相邻区间

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(N\)（题目数）、\(K\)（可能的 true 数量个数）、\(t[1..K]\)
   • 排序：\(sort(t+1, t+K+1)\)
   • 策略一（全答 false）：
     • 最坏情况：实际 true 数量最多（\(t_K\)），答对 \(N - t_K\) 题
     • \(ans = \max(ans, N - t_K)\)
   • 策略二（全答 true）：
     • 最坏情况：实际 true 数量最少（\(t_1\)），答对 \(t_1\) 题
     • \(ans = \max(ans, t_1)\)
   • 策略三（混合策略）：
     • 设约翰答 \(x\) 道 true，\(N-x\) 道 false
     • 实际 true 数量为 \(t\) 时，答对 \(\min(x, t) + \min(N-x, N-t) = \min(x,t) + N - \max(x,t)\) 题
     • 最优 \(x\) 在相邻 \(t_i, t_{i+1}\) 之间，最坏情况答对 \(\lfloor (t_{i+1} - t_i) / 2 \rfloor\) 题
     • 遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(K-1\)：\(ans = \max(ans, \lfloor (t_{i+1} - t_i) / 2 \rfloor)\)
   • 输出答案 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(K \log K)\)，排序 \(O(K \log K)\)，遍历 \(O(K)\)
   • 空间复杂度：\(O(K)\)，存储 \(t\) 数组

5. 博弈论最优策略的核心思想：

   • 最坏情况最大化：约翰不知道具体哪个 \(t_i\) 是正确的，必须保证在所有可能情况下的最低得分最高（maximin 策略）
   • 混合策略分析：当 \(x \in [t_i, t_{i+1}]\) 时，最坏情况出现在 \(t = t_i\) 或 \(t = t_{i+1}\)，此时答对题数为 \(N - x + t_i\) 或 \(x + N - t_{i+1}\)，取 \(x\) 为中点时两者相等，得 \(\lfloor (t_{i+1} - t_i) / 2 \rfloor\)
   • 极端策略不可忽视：全 true 或全 false 在某些情况下（如 \(t_1 = 0\) 或 \(t_K = N\)）可能是最优的
   • 相邻区间独立性：最优 \(x\) 只可能出现在相邻 \(t_i\) 之间或端点，无需考虑非相邻区间
   • 适用于信息不完全博弈、最坏情况优化、区间中点策略类问题

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10005; // 最大可能的t值数量
int n, k; // n:题目总数, k:可能的true题目数量个数
int a[N], ans; // a[i]:第i个可能的true题目数量, ans:保证能获得的最高分数

int main()
{
    cin >> n >> k; // 读入题目数量和可能的true数量个数
    for (int i=1; i<=k; i++) // 读入所有可能的true题目数量
        cin >> a[i];

    sort(a+1, a+k+1); // 排序，便于后续处理

    // 策略一：全部答false
    // 当实际true数量为a[k]（最大值）时，答对n-a[k]题
    // 这是全答false策略下的最坏情况
    ans = max(ans, n - a[k]);

    // 策略二：全部答true
    // 当实际true数量为a[1]（最小值）时，答对a[1]题
    // 这是全答true策略下的最坏情况
    ans = max(ans, a[1]);

    // 策略三：答一部分true、一部分false（混合策略）
    // 假设约翰答x道题为true，(n-x)道题为false
    // 对于实际true数量为t的情况，答对题数为：min(x, t) + min(n-x, n-t)
    // 即：min(x, t) + n - max(x, t)
    // 最优的x应该在相邻两个可能的t值之间
    // 对于区间[a[i], a[i+1]]，最优策略是取x为中间值
    // 此时最坏情况下的答对题数为(a[i+1]-a[i])/2（向下取整）
    for (int i=1; i<k; i++)
    {
        // 在a[i]和a[i+1]之间取中点作为分界
        // 最坏情况下（实际true数量为a[i]或a[i+1]）的答对题数
        int t = (a[i+1] - a[i]) / 2;
        ans = max(ans, t);
    }

    cout << ans << endl; // 输出保证能获得的最高分数
    return 0;
}

【运行结果】

6 2
0
3
3