题解：洛谷 P2848 Cow Checklist
【题目来源】
洛谷：P2848 [USACO16DEC] Cow Checklist G
【题目描述】
每天，Farmer John 都会穿过他的牧场，检查每头奶牛的健康状况。他的农场里有两类奶牛：荷斯坦牛和根西牛。他的 \(H\) 头荷斯坦牛被方便地编号为 \(1 \ldots H\)，而他的 \(G\) 头根西牛被方便地编号为 \(1 \ldots G\)（\(1 \leq H \leq 1000, 1 \leq G \leq 1000\)）。每头奶牛都位于二维平面中的一个点（不一定不同）。
Farmer John 从荷斯坦牛 \(1\) 开始他的巡视，并在荷斯坦牛 \(H\) 结束。他希望沿途访问每头奶牛，并且为了方便维护他已经访问过的奶牛清单，他希望按照编号顺序访问荷斯坦牛和根西牛。在他访问的所有 \(H+G\) 头奶牛的序列中，编号为 \(1 \ldots H\) 的荷斯坦牛应作为一个（不一定连续的）子序列出现，同样地，编号为 \(1 \ldots G\) 的根西牛也应如此。换句话说，所有 \(H+G\) 头奶牛的序列应通过将编号为 \(1 \ldots H\) 的荷斯坦牛列表与编号为 \(1 \ldots G\) 的根西牛列表交错排列而成。
当 Farmer John 从一头奶牛移动到另一头奶牛，移动距离为 \(D\) 时，他会消耗 \(D^2\) 的能量。请帮助他确定按照上述巡视方式访问所有奶牛所需的最小能量。
【输入】
输入的第一行包含用空格分隔的 \(H\) 和 \(G\)。
接下来的 \(H\) 行包含 \(H\) 头荷斯坦牛的 \(x\) 和 \(y\) 坐标，随后的 \(G\) 行包含根西牛的坐标。每个坐标都是 \(0 \ldots 1000\) 范围内的整数。
【输出】
输出一行，表示 Farmer John 巡视所有奶牛所需的最小能量。
【输入样例】
3 2
0 0
1 0
2 0
0 3
1 3
【输出样例】
20
【核心思想】
-
问题分析：给定 \(H\) 头荷斯坦牛和 \(G\) 头根西牛的二维坐标，要求从荷斯坦牛 \(1\) 出发，按编号顺序交错访问所有奶牛，最终在荷斯坦牛 \(H\) 结束。移动代价为欧几里得距离的平方。求最小总能量。这是一个线性 DP 问题，核心在于状态需记录两类奶牛的访问进度和当前所在位置类型。
-
算法选择：
- 二维线性 DP（状态扩展）：\(f[i][j][0/1]\) 表示已访问 \(i\) 头荷斯坦牛和 \(j\) 头根西牛，当前位于荷斯坦牛（状态 \(0\)）或根西牛（状态 \(1\)）的最小能量
- 交错序列建模：两类奶牛必须各自按编号顺序访问，等价于求两个序列的最优合并路径
-
关键步骤：
- 初始化：读取 \(H\)、\(G\)、坐标数组 \(H[1..H]\) 和 \(G[1..G]\)
- 边界：\(f[1][0][0] = 0\)（从荷斯坦牛 \(1\) 出发，已访问 \(1\) 头荷斯坦牛、\(0\) 头根西牛）
- DP 递推（\(i\) 从 \(1\) 到 \(H\)，\(j\) 从 \(0\) 到 \(G\)）：
- 当前在荷斯坦牛 \(i\)（\(f[i][j][0]\)）：
- 从根西牛 \(j\) 转移（\(j \geq 1\)）：\(f[i][j][0] = \min(f[i][j][0], f[i-1][j][1] + dist(H_i, G_j)^2)\)
- 从荷斯坦牛 \(i-1\) 转移（\(i \geq 2\)）：\(f[i][j][0] = \min(f[i][j][0], f[i-1][j][0] + dist(H_i, H_{i-1})^2)\)
- 当前在根西牛 \(j\)（\(f[i][j][1]\)，\(j \geq 1\)）：
- 从荷斯坦牛 \(i\) 转移：\(f[i][j][1] = \min(f[i][j][1], f[i][j-1][0] + dist(G_j, H_i)^2)\)
- 从根西牛 \(j-1\) 转移（\(j \geq 2\)）：\(f[i][j][1] = \min(f[i][j][1], f[i][j-1][1] + dist(G_j, G_{j-1})^2)\)
- 当前在荷斯坦牛 \(i\)（\(f[i][j][0]\)）：
- 输出答案：\(f[H][G][0]\)（最终必须在荷斯坦牛 \(H\)）
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(H \times G)\)，双层循环，每次 \(O(1)\) 转移
- 空间复杂度：\(O(H \times G)\)，三维 DP 数组
-
线性 DP 的核心思想：
- 双序列交错模型：将两个有序序列的合并问题转化为网格图上的最短路径，\(i\) 和 \(j\) 分别表示两个序列的访问进度
- 状态设计的关键：必须记录"当前所在位置类型"（荷斯坦还是根西），因为下一步的移动代价取决于当前位置
- 四种转移全覆盖：从当前位置类型出发，上一步可能来自同类型前一头或另一类型当前头，全部枚举取最小
- 终点约束：题目要求最终停在荷斯坦牛 \(H\)，因此答案取 \(f[H][G][0]\) 而非 \(\min(f[H][G][0], f[H][G][1])\)
- 适用于双序列合并、交错路径、多类型有序访问类 DP 问题
【算法标签】
普及+ #线性DP-一维
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long // 将int定义为long long，防止坐标平方溢出
const int N = 1005; // 最大奶牛数量
int n, m; // n:荷斯坦牛数量H, m:根西牛数量G
int f[N][N][2]; // f[i][j][0/1]:已访问i头荷斯坦牛和j头根西牛，当前位于荷斯坦牛(0)或根西牛(1)的最小能量
struct Node
{
int x, y; // 坐标
}H[N], G[N]; // H[i]:第i头荷斯坦牛坐标, G[i]:第i头根西牛坐标
signed main()
{
cin >> n >> m; // 读入荷斯坦牛和根西牛数量
for (int i=1; i<=n; i++) // 读入荷斯坦牛坐标
cin >> H[i].x >> H[i].y;
for (int i=1; i<=m; i++) // 读入根西牛坐标
cin >> G[i].x >> G[i].y;
// 初始化DP数组为无穷大
memset(f, 0x3f, sizeof(f));
// 边界条件：从荷斯坦牛1开始，已访问1头荷斯坦牛和0头根西牛，当前在荷斯坦牛
f[1][0][0] = 0;
for (int i=1; i<=n; i++) // 外层循环：枚举已访问的荷斯坦牛数量
for (int j=0; j<=m; j++) // 内层循环：枚举已访问的根西牛数量
{
if (i==1 && j==0) continue; // 跳过初始状态
// 状态转移：当前位于第i头荷斯坦牛
if (i>=1)
{
// 情况1：从根西牛j转移过来（上一次访问的是根西牛j）
// 注意：当j=0时，G[0]未定义，但代码中j>=1时才会用到G[j]
// 实际上当j=0时，只能从荷斯坦牛i-1转移
if (j>=1)
{
int dx = H[i].x - G[j].x;
int dy = H[i].y - G[j].y;
int dist = dx * dx + dy * dy; // 欧几里得距离的平方
f[i][j][0] = min(f[i][j][0], f[i-1][j][1] + dist);
}
// 情况2：从荷斯坦牛i-1转移过来（上一次访问的是荷斯坦牛i-1）
if (i>=2)
{
int dx = H[i].x - H[i-1].x;
int dy = H[i].y - H[i-1].y;
int dist = dx * dx + dy * dy;
f[i][j][0] = min(f[i][j][0], f[i-1][j][0] + dist);
}
}
// 状态转移：当前位于第j头根西牛
if (j>=1)
{
// 情况1：从荷斯坦牛i转移过来（上一次访问的是荷斯坦牛i）
int dx = G[j].x - H[i].x;
int dy = G[j].y - H[i].y;
int dist = dx * dx + dy * dy;
f[i][j][1] = min(f[i][j][1], f[i][j-1][0] + dist);
// 情况2：从根西牛j-1转移过来（上一次访问的是根西牛j-1）
if (j>=2)
{
dx = G[j].x - G[j-1].x;
dy = G[j].y - G[j-1].y;
dist = dx * dx + dy * dy;
f[i][j][1] = min(f[i][j][1], f[i][j-1][1] + dist);
}
}
}
// 答案：访问完所有奶牛，最终停在荷斯坦牛H（编号n）的最小能量
cout << f[n][m][0] << endl;
return 0;
}
【运行结果】
3 2
0 0
1 0
2 0
0 3
1 3
20
浙公网安备 33010602011771号