题解：洛谷 P5019 铺设道路

【题目来源】

洛谷：P5019 [NOIP 2018 提高组] 铺设道路 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

春春是一名道路工程师，负责铺设一条长度为 \(n\) 的道路。

铺设道路的主要工作是填平下陷的地表。整段道路可以看作是 \(n\) 块首尾相连的区域，一开始，第 \(i\) 块区域下陷的深度为 \(d_i\)。

春春每天可以选择一段连续区间 \([L,R]\) ，填充这段区间中的每块区域，让其下陷深度减少 \(1\)。在选择区间时，需要保证，区间内的每块区域在填充前下陷深度均不为 \(0\)。

春春希望你能帮他设计一种方案，可以在最短的时间内将整段道路的下陷深度都变为 \(0\)。

【输入】

输入文件包含两行，第一行包含一个整数 \(n\)，表示道路的长度。第二行包含 \(n\) 个整数，相邻两数间用一个空格隔开，第 \(i\) 个整数为 \(d_i\)。

【输出】

输出文件仅包含一个整数，即最少需要多少天才能完成任务。

【输入样例】

6
4 3 2 5 3 5

【输出样例】

9

【核心思想】

1. 问题分析：给定长度为 \(n\) 的道路，每块区域下陷深度为 \(d_i\)。每天可选择一段连续非零下陷区间，将区间内每块深度减 \(1\)。求最少天数使所有深度变为 \(0\)。这是一个贪心差分问题，与积木大赛（P1969）本质相同，关键在于识别"上升段"需要额外操作。

2. 算法选择：

   • 贪心累加差分：从左到右遍历，若当前深度 \(d_i > d_{i-1}\)，则需要额外 \(d_i - d_{i-1}\) 天操作来填补上升缺口

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(n\) 和深度数组 \(d[1..n]\)（\(d[0] = 0\)）
   • 贪心计算（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 若 \(d[i] > d[i-1]\)：ans += d[i] - d[i-1]
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，线性遍历
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，深度数组（可优化为 \(O(1)\)）

5. 贪心差分的核心思想：

   • 区间覆盖的叠加性：每次操作给连续区间 \(-1\)，多个操作叠加使每个位置达到目标深度 \(0\)
   • 上升缺口的必要性：若 \(d_i > d_{i-1}\)，位置 \(i\) 比位置 \(i-1\) 深的部分无法被包含 \(i-1\) 的区间操作覆盖（因为那些操作也会给 \(i-1\) 减 \(1\)，而 \(i-1\) 可能已经为 \(0\) 了），必须单独开启新的区间操作
   • 下降段的复用：若 \(d_i \leq d_{i-1}\)，位置 \(i\) 的深度可以被覆盖 \(i-1\) 的区间操作顺带覆盖，无需额外天数
   • 与积木大赛的等价性：积木大赛是区间 \(+1\) 达到目标高度，本题是区间 \(-1\) 达到目标深度 \(0\)，数学结构完全相同
   • 适用于"区间增量/减量覆盖序列目标"的贪心问题，核心在于差分思想识别必须单独开启的操作

【解题思路】

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, a[100005], f[100005];  // n: 数组长度, a: 输入数组, f: 动态规划数组

int main()
{
    // 输入数组长度n
    cin >> n;

    // 输入数组元素
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    // 初始化动态规划数组
    f[1] = a[1];  // 第一个元素的最小和就是它本身

    // 动态规划计算最小和
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i - 1] >= a[i]) {
            // 如果前一个元素大于等于当前元素，直接继承前一个结果
            f[i] = f[i - 1];
        } else {
            // 否则需要增加差值部分
            f[i] = f[i - 1] + (a[i] - a[i - 1]);
        }
    }

    // 输出最终结果
    cout << f[n];

    return 0;
}

【运行结果】

6
4 3 2 5 3 5
9