题解：洛谷 P3853 路标设置

【题目来源】

洛谷：P3853 [TJOI2007] 路标设置 - 洛谷

【题目描述】

现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。

【输入】

第 \(1\) 行包括三个数 \(L,N,K\)，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。

第 \(2\) 行包括递增排列的 \(N\) 个整数，分别表示原有的 \(N\) 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间 \([0,L]\) 内。

【输出】

输出 \(1\) 行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。

【输入样例】

101 2 1
0 101

【输出样例】

51

【核心思想】

1. 问题分析：给定公路长度 \(L\)，原有 \(N\) 个路标位置，最多增设 \(K\) 个路标。"空旷指数"定义为相邻路标间的最大距离。求增设 \(K\) 个路标后的最小空旷指数。这是一个整数二分 + 贪心验证问题，关键在于二分答案（空旷指数），验证给定空旷指数下是否需要不超过 \(K\) 个新增路标。

2. 算法选择：

   • 整数二分：在答案范围 \([1, L]\) 内二分查找最小可行的空旷指数
   • 贪心验证：对于给定的空旷指数 \(mid\)，计算每段原有间距需要增设多少个路标（即 ceil(a[i] / mid) - 1），累加判断是否 \(\leq K\)

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(L, N, K\) 和 \(N\) 个路标位置
   • 计算间距：a[i] = now - last，最后一段 a[N] = L - last
   • 二分查找（\(l = 1, r = 10^7\)）：
     • mid = l + (r - l) / 2
     • count = 0：需要增设的路标数
     • 遍历每段间距 a[i]：
       • while (tmp > mid)：count++，tmp -= mid（模拟增设路标分割间距）
     • 若 count <= K：r = mid - 1（可以尝试更小的空旷指数）
     • 否则：l = mid + 1（需要更大的空旷指数）
   • 输出 l

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(N \log L)\)，二分 \(O(\log L)\)，每次验证 \(O(N)\)
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，存储间距数组

5. 整数二分 + 贪心验证的核心思想：

   • 答案单调性：若空旷指数 \(mid\) 可行（需要增设的路标 \(\leq K\)），则所有 \(> mid\) 的值也可行；若不可行，则所有 \(< mid\) 的值也不可行。这种单调性支撑二分查找
   • 贪心分割策略：对于一段长度为 \(d\) 的间距，若目标空旷指数为 \(mid\)，则至少需要 ceil(d / mid) - 1 个新增路标将其分割为每段 \(\leq mid\) 的小段。贪心地在每段均匀分割是最优的
   • 二分边界处理：循环结束时 l 是第一个不可行的值？不对，仔细看：当 count <= K 时 r = mid - 1，当 count > K 时 l = mid + 1。最终 l 是使 count > K 的最小值？实际上，这是寻找下界的标准写法，最终 l 是满足条件的最小值
   • 适用于"最小化最大值"类问题，核心在于二分答案和贪心验证

【解题思路】

【算法标签】

普及 #整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 全局变量：
// length: 道路总长度
// n: 已有石头数量
// k: 可以移除的石头数量
// a[100005]: 存储相邻石头间的距离
// last: 记录前一个石头位置
// now: 当前石头位置
// l, r: 二分查找的左右边界
int length, n, k, a[100005], last, now, l, r;

int main()
{
    // 输入道路总长度、已有石头数量和可移除石头数量
    cin >> length >> n >> k;

    last = 0;  // 初始化前一个石头位置为起点0

    // 计算相邻石头间的距离
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> now;
        a[i] = now - last;  // 计算当前石头与前一个石头的距离
        last = now;         // 更新前一个石头位置
    }

    // 添加终点到最后一个石头的距离
    a[n] = length - last;

    // 特殊情况处理：不能移除任何石头时，直接返回道路总长度
    if (k == 0)
    {
        cout << length;
        return 0;
    }

    // 初始化二分查找边界
    l = 1;      // 最小跳跃距离至少为1
    r = 1e7;    // 设置一个足够大的上界

    // 二分查找最小化最大跳跃距离
    while (l <= r)
    {
        int mid = l + (r - l) / 2;  // 计算中间值，防止溢出
        int count = 0;              // 记录需要移除的石头数量

        // 计算在当前mid值下需要移除多少石头
        for (int i = 0; i <= n; i++)
        {
            int tmp = a[i];  // 当前石头间距
            while (tmp > mid) // 如果间距大于mid，需要分割
            {
                count++;     // 增加移除石头计数
                tmp -= mid;  // 模拟移除石头后的剩余距离
            }
        }

        // 根据计算结果调整搜索范围
        if (count <= k)
        {
            r = mid - 1;  // 可以尝试更小的最大跳跃距离
        }
        else
        {
            l = mid + 1;  // 需要更大的最大跳跃距离
        }
    }

    // 输出最终确定的最小化最大跳跃距离
    cout << l << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

101 2 1
0 101
51