题解：洛谷 P2850 Wormholes

【题目来源】

【题目描述】

Farmer John 在探索他的农场时发现了许多神奇的虫洞。虫洞的特性非常特殊——它是一个单向通道，能将你传送到它的目的地，而且时间还会回溯到过去！FJ 的每个农场包含 \(N (1 \le N \le 500)\) 块编号为 \(1 \sim N\) 的田地、\(M (1 \le M \le 2500)\) 条双向路径和 \(W (1 \le W \le 200)\) 个虫洞。

作为狂热的时间旅行爱好者，FJ 希望实现：从某块田地出发，经过若干路径和虫洞后，在初始离开时间之前回到起点。这样或许他能遇见自己：)

为了判断可行性，FJ 将提供 \(F (1 \le F \le 5)\) 个农场的完整地图。所有路径通行耗时不超过 \(10,000\) 秒，虫洞最多能将 FJ 带回 \(10,000\) 秒前。

【输入】

第 \(1\) 行：一个整数 \(F\)，表示农场数。后续为 \(F\) 个农场的数据。

每个农场：

第 \(1\) 行：三个空格分隔的整数 \(N\)（田地数）, \(M\)（双向路径数）, \(W\)（虫洞数）。
第 \(2 \sim M+1\) 行：每行三个空格分隔的整数 \((S, E, T)\)，表示 \(S\) 和 \(E\) 间有一条耗时 \(T\) 秒的双向路径。两块田地间可能存在多条路径。
第 \(M+2 \sim M+W+1\) 行：每行三个空格分隔的整数 \((S, E, T)\)，表示一条从 \(S\) 到 \(E\) 的单向虫洞，可将 FJ 带回 \(T\) 秒前。

【输出】

输出 \(F\) 行：对每个农场，若 FJ 能达成目标输出YES，否则输出NO。

【输入样例】

【输出样例】

NO
YES

【核心思想】

问题分析：给定 \(F\) 个农场，每个农场有 \(N\) 块田地、\(M\) 条双向正权路径、\(W\) 条单向负权虫洞。判断是否存在从某点出发经过若干路径和虫洞后，在初始时间之前回到起点的路径。这等价于判断图中是否存在负权回路。这是一个SPFA 负环检测问题。
算法选择：
- SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）：用于检测图中是否存在负权回路
- 全源初始化：将所有节点同时加入队列，检测任意位置的负环（不只从节点1出发）
- 入队次数判负环：若某节点入队次数 \(\geq N\)，则存在负环
关键步骤：
- 建图：双向路径加两条有向边（权值 \(+T\)），虫洞加一条有向边（权值 \(-T\)）
- SPFA 检测：
  - 初始化所有 dist 为 \(0\)（或无穷大），所有节点入队
  - 队列非空时取出队首，松弛所有邻接边
  - 若 dist[j] > dist[t] + w[i]，更新距离，cnt[j] = cnt[t] + 1
  - 若 cnt[j] >= n，返回 true（存在负环）
- 输出 YES/NO
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(F \cdot (N \cdot M))\)，SPFA 最坏情况，实际通常很快
- 空间复杂度：\(O(N + M + W)\)，邻接表存储
SPFA 负环检测的核心思想：
- 负环与时光回溯的等价性：负权回路意味着绕一圈后总时间为负，即回到过去，满足题目要求
- 全源初始化：不指定单一起点，所有节点同时入队，确保能检测到图中任意位置的负环
- 入队次数阈值：在 \(N\) 个节点的图中，最短路最多经过 \(N-1\) 条边。若某节点第 \(N\) 次被更新，说明存在负环（可无限松弛）
- 虫洞建模为负边：时间回溯等价于负权边，将物理问题转化为图论经典问题
- 适用于"判断图中是否存在负权回路"的问题，核心在于 SPFA 的入队次数判环技巧

【算法标签】

普及 #SPFA

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 505, M = 3005 * 2;  // N: 最大节点数，M: 最大边数
int n, m, W, f;  // n: 节点数，m: 正边数，W: 负边数，f: 测试用例数
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx;  // 邻接表存储图
int dist[N], cnt[N];  // dist: 距离，cnt: 入队次数
bool st[N];  // 标记是否在队列中

// 添加有向边
void add(int a, int b, int c)
{
    e[idx] = b, w[idx] = c, ne[idx] = h[a], h[a] = idx++;
}

// SPFA算法检测负环
bool spfa()
{
    queue<int> q;
    // 将所有节点加入队列，从每个点开始检测负环
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        q.push(i);
        st[i] = true;
    }
    while (!q.empty())
    {
        int t = q.front();
        q.pop();
        st[t] = false;
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (dist[j] > dist[t] + w[i])  // 如果可以松弛
            {
                dist[j] = dist[t] + w[i];
                cnt[j] = cnt[t] + 1;
                if (cnt[j] >= n)  // 如果入队次数超过n，存在负环
                    return true;
                if (!st[j])  // 如果不在队列中，加入队列
                {
                    q.push(j);
                    st[j] = true;
                }
            }
        }
    }
    return false;  // 没有负环
}
int main()
{
    cin >> f;  // 输入测试用例数
    while (f--)
    {
        cin >> n >> m >> W;  // 输入节点数、正边数、负边数
        idx = 0;
        memset(h, -1, sizeof(h));  // 初始化邻接表
        while (m--)  // 输入正边（双向边）
        {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, b, c), add(b, a, c);
        }
        while (W--)  // 输入负边（单向边）
        {
            int s, e, t;
            cin >> s >> e >> t;
            add(s, e, -t);  // 虫洞为负边
        }
        memset(dist, 0x3f, sizeof(dist));  // 初始化距离为无穷大
        memset(cnt, 0, sizeof(cnt));  // 初始化入队次数
        dist[1] = 0;  // 起始点距离为0
        if (spfa())  // 检测负环
            cout << "YES" << endl;  // 存在负环
        else
            cout << "NO" << endl;  // 不存在负环
    }
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:28 团爸讲算法阅读(12) 评论(0) 收藏举报

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