题解：洛谷 P2701 巨大的牛棚

【题目来源】

洛谷：P2701 [USACO5.3] 巨大的牛棚 Big Barn

【题目描述】

FJ 有一个大小为 \(n\times n\) 的农场（\(1\le n\le 1000\)），他想要在他的农场上建造一座正方形大牛棚。他的农场中有 \(t\) 棵果树（\(1\le t\le10000\)），但他为了不破坏果树，就想找一个空旷无树的地方修建牛棚。你的任务是计算并输出，在他的农场中，不需要砍树却能够修建的最大正方形牛棚的边长。当然，牛棚的边必须和水平轴和垂直轴平行。

考虑下面的农场，. 表示没有树的方格，# 表示有树的方格。

0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 . . . . . . . .
2 . # . . . # . .
3 . . . . . . . .
4 . . . . . . . .
5 . . . . . . . .
6 . . # . . . . .
7 . . . . . . . .
8 . . . . . . . .

最大的牛棚是边长为 \(5\) 的，可以建造在农场右下角的两个位置其中一个。

【输入】

第 \(1\) 行输入两个正整数 \(n\) 和 \(t\)。

第 \(2\sim t+1\) 行输入两个正整数 \(x,y\ (1\le x,y\le n)\)。

【输出】

只由一行组成，约翰的牛棚的最大边长。

【输入样例】

8 3
2 2
2 6
6 3

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n \times n\) 的网格，其中有 \(t\) 个位置有树（障碍物），求边与坐标轴平行的最大正方形空区域（不含树）的边长。这是一个二维 DP 问题，关键在于状态设计能递推地利用子问题的最优解。

2. 算法选择：

   • 二维动态规划：设 \(dp[i][j]\) 表示以 \((i, j)\) 为右下角的最大无树正方形边长
   • 状态转移：当前位置能扩展的正方形边长受限于上方、左方、左上方三个相邻位置的最小值

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\)（农场边长）、\(t\)（果树数量），标记有树的位置 \(g[x][y] = 1\)
   • DP 数组初始化：\(dp[i][j]\) 初始化为较大值（边界处理），\(ans = 0\)
   • 递推计算（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)，\(j\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 若 \(g[i][j] = 1\)（有树）：\(dp[i][j] = 0\)
     • 若 \(i = 1\) 或 \(j = 1\)（边界）：\(dp[i][j] = 1\)（无树位置）
     • 否则：状态转移 \(dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1\)
     • 更新全局答案 \(ans = \max(ans, dp[i][j])\)
   • 输出答案 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^2)\)，双层循环遍历整个网格
   • 空间复杂度：\(O(n^2)\)，\(dp\) 二维数组和 \(g\) 标记数组

5. 二维 DP 的核心思想：

   • 子结构重叠：以 \((i, j)\) 为右下角的正方形，其边长受限于三个方向（上、左、左上）能形成的最小正方形，因为这三个方向必须同时满足无树才能扩展
   • 最小值约束：\(dp[i][j]\) 取三者最小值加 \(1\)，因为只要任一方向存在树或边界限制，当前正方形就无法突破该限制
   • 边界处理：第一行和第一列的无树位置最大只能形成 \(1 \times 1\) 的正方形，作为递推基础
   • 贪心最优性：每个位置记录以它为右下角的最大正方形，全局取最大即得答案
   • 适用于最大正方形/矩形、矩阵覆盖、障碍物规避类问题

【算法标签】

普及 #线性DP-二维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005; // 最大农场尺寸
int n, t, ans; // n:农场边长, t:果树数量, ans:最大正方形牛棚边长
int g[N][N]; // g[i][j]:标记该位置是否有树（1表示有树，0表示无树）
int dp[N][N]; // dp[i][j]:以(i,j)为右下角的最大无树正方形边长

int main()
{
    cin >> n >> t; // 读入农场边长和果树数量
    for (int i=1; i<=t; i++) // 读入每棵果树的位置
    {
        int x, y; cin >> x >> y;
        g[x][y] = 1; // 标记该位置有树
    }
    // 初始化dp数组为较大值（用于边界处理）
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for (int i=1; i<=n; i++) // 外层循环：枚举行
        for (int j=1; j<=n; j++) // 内层循环：枚举列
        {
            if (g[i][j]) // 如果当前位置有树
            {
                dp[i][j] = 0; // 以该位置为右下角的正方形边长为0（不能建牛棚）
            }
            else if (i==1 || j==1) // 边界位置（第一行或第一列）
                dp[i][j] = 1; // 边界上无树的位置最大正方形边长为1
            else
            {
                // 状态转移：以(i,j)为右下角的最大正方形边长
                // 取决于上方、左方、左上方三个位置的最小值加1
                // 原理：如果这三个方向都能形成边长为k的正方形，则当前可形成边长为k+1的正方形
                dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]})+1;
            }
            ans = max(ans, dp[i][j]); // 更新全局最大边长
        }
    cout << ans << endl; // 输出最大正方形牛棚的边长
    return 0;
}

【运行结果】

8 3
2 2
2 6
6 3
5