题解：洛谷 P2690 Apple Catching

【题目来源】

洛谷：P2690 [USACO04NOV] Apple Catching G

【题目描述】

很少有人知道奶牛爱吃苹果。农夫约翰的农场上有两棵苹果树（编号为 \(1\) 和 \(2\) ）， 每一棵树上都长满了苹果。奶牛贝茜无法摘下树上的苹果，所以她只能等待苹果 从树上落下。但是，由于苹果掉到地上会摔烂，贝茜必须在半空中接住苹果（没有人爱吃摔烂的苹果）。贝茜吃东西很快，她接到苹果后仅用几秒钟就能吃完。每一分钟，两棵苹果树其中的一棵会掉落一个苹果。贝茜已经过了足够的训练， 只要站在树下就一定能接住这棵树上掉落的苹果。同时，贝茜能够在两棵树之间 快速移动（移动时间远少于 \(1\) 分钟），因此当苹果掉落时，她必定站在两棵树其中的一棵下面。此外，奶牛不愿意不停地往返于两棵树之间，因此会错过一些苹果。苹果每分钟掉落一个，共 \(T\)（\(1 \le T \le 1000\)）分钟，贝茜最多愿意移动 \(W\)（\(1 \le W \le 30\)） 次。现给出每分钟掉落苹果的树的编号，要求判定贝茜能够接住的最多苹果数。 开始时贝茜在 1 号树下。

【输入】

第一行 \(2\) 个数， \(T\) 和 \(W\)。接下来的 \(t\) 行，每行一个数，代表在时刻 \(t\) 苹果是从 \(1\) 号苹果树还是从 \(2\) 号苹果树上掉下来的。

【输出】

对于每个测试点，输出一行，一个数，为奶牛最多接到的苹果的数量。

【输入样例】

7 2
2
1
1
2
2
1
1

【输出样例】

6

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(T\) 分钟内每分钟苹果掉落的树编号 \(a_i \in \{1, 2\}\)，贝茜初始在 \(1\) 号树下，最多移动 \(W\) 次。每分钟若贝茜所在树下有苹果掉落即可接住。求最多能接住的苹果数。这是一个线性 DP 问题，关键在于状态设计需同时记录时间、已用移动次数和当前位置。

2. 算法选择：

   • 线性 DP（一维扩展）：按时间顺序递推，状态包含"已用移动次数"和"当前位置"两个维度
   • 状态转移：每分钟有两种选择——留在原地（不消耗移动次数）或从另一棵树移动过来（消耗 \(1\) 次移动次数）

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(T\)（总分钟数）、\(W\)（最大移动次数）、\(a[1..T]\)（每分钟掉落苹果的树编号）
   • DP 状态定义：\(f[i][j][k]\) 表示前 \(i\) 分钟移动了 \(j\) 次，当前在树 \(k+1\) 下（\(k=0\) 表示树 \(1\)，\(k=1\) 表示树 \(2\)）接到的最多苹果数
   • 初始状态：\(f[0][0][0] = 0\)（第 \(0\) 分钟在树 \(1\) 下，移动 \(0\) 次，接到 \(0\) 个），其余状态为 \(-\infty\)
   • 状态转移（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(T\)，\(j\) 从 \(0\) 到 \(W\)）：
     • 不移动：\(f[i][j][0] = f[i-1][j][0] + (a_i == 1)\)，\(f[i][j][1] = f[i-1][j][1] + (a_i == 2)\)
     • 移动过来（需 \(j \geq 1\)）：
       • 从树 \(2\) 移到树 \(1\)：\(f[i][j][0] = \max(f[i][j][0], f[i-1][j-1][1] + (a_i == 1))\)
       • 从树 \(1\) 移到树 \(2\)：\(f[i][j][1] = \max(f[i][j][1], f[i-1][j-1][0] + (a_i == 2))\)
   • 统计答案：\(ans = \max_{0 \leq j \leq W, k \in \{0,1\}} f[T][j][k]\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(T \times W)\)，双层循环，每层内部 \(O(1)\) 转移
   • 空间复杂度：\(O(T \times W)\)，三维 DP 数组（可滚动优化至 \(O(W)\)）

5. 线性 DP 的核心思想：

   • 时间维度递推：按时间顺序处理，每分钟的状态仅依赖于前一分钟的状态，满足无后效性
   • 状态设计技巧：将"当前位置"和"已用资源（移动次数）"纳入状态，将复杂的决策过程转化为状态转移
   • 选择建模：每个时刻只有"不动"和"移动"两种决策，分别对应不同的前置状态，取最大值保证最优性
   • 边界处理：初始位置固定在树 \(1\)，通过 \(f[0][0][0] = 0\) 和其余 \(-\infty\) 确保状态合法性
   • 适用于有时间序列约束、资源限制（如移动次数）的最优化问题

【算法标签】

普及 #线性DP-一维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005; // 最大时间上限
int t, w, ans=-1; // t:总分钟数, w:最大移动次数, ans:最多接住的苹果数
int a[N]; // a[i]:第i分钟苹果从哪棵树掉落（1或2）
int f[N][35][2]; // f[i][j][k]:前i分钟移动了j次，当前在树k+1下接到的最多苹果数

int main()
{
    cin >> t >> w; // 读入总时间和最大移动次数
    for (int i=1; i<=t; i++) // 读入每分钟苹果掉落的树编号
        cin >> a[i];
    // 初始化DP数组为负无穷，表示不可达状态
    memset(f, -0x3f, sizeof(f));
    f[0][0][0] = 0; // 初始状态：第0分钟在1号树下，移动0次，接到0个苹果

    for (int i=1; i<=t; i++) // 外层循环：枚举每一分钟
        for (int j=0; j<=w; j++) // 中层循环：枚举已使用的移动次数
        {
            // 情况1：不移动，继续留在当前树下
            // 留在1号树下，如果当前苹果从1号树掉落则接住
            f[i][j][0] = f[i-1][j][0] + (a[i]==1);
            // 留在2号树下，如果当前苹果从2号树掉落则接住
            f[i][j][1] = f[i-1][j][1] + (a[i]==2);
            // 情况2：从另一棵树移动过来（消耗一次移动机会）
            // 从2号树移动到1号树，如果当前苹果从1号树掉落则接住
            if (j>=1) f[i][j][0] = max(f[i][j][0], f[i-1][j-1][1] + (a[i]==1));
            // 从1号树移动到2号树，如果当前苹果从2号树掉落则接住
            if (j>=1) f[i][j][1] = max(f[i][j][1], f[i-1][j-1][0] + (a[i]==2));
        }

    // 枚举所有可能的移动次数和最终位置，取最大值
    for (int j=0; j<=w; j++)
        ans = max({ans, f[t][j][0], f[t][j][1]});
    cout << ans << endl; // 输出最多接住的苹果数
    return 0;
}

【运行结果】

7 2
2
1
1
2
2
1
1
6