题解：洛谷 P2440 木材加工

【题目来源】

洛谷：P2440 木材加工 - 洛谷

【题目描述】

木材厂有 \(n\) 根原木，现在想把这些木头切割成 \(k\) 段长度均为 \(l\) 的小段木头（木头有可能有剩余）。

当然，我们希望得到的小段木头越长越好，请求出 \(l\) 的最大值。

木头长度的单位是 \(cm\)，原木的长度都是正整数，我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。

例如有两根原木长度分别为 \(11\) 和 \(21\)，要求切割成等长的 \(6\) 段，很明显能切割出来的小段木头长度最长为 \(5\)。

【输入】

第一行是两个正整数 \(n,k\)，分别表示原木的数量，需要得到的小段的数量。

接下来 \(n\) 行，每行一个正整数 \(L_i\)，表示一根原木的长度。

【输出】

仅一行，即 \(l\) 的最大值。

如果连 \(1cm\) 长的小段都切不出来，输出 0。

【输入样例】

3 7
232
124
456

【输出样例】

114

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 根原木，每根长度为 \(L_i\)，需要切割出至少 \(k\) 段长度均为 \(l\) 的小段。目标是求满足条件的最大正整数 \(l\)。若 \(l = 1\) 都无法满足，输出 \(0\)。这是一个整数二分问题，关键在于判断某个切割长度 \(l\) 是否可行（即能否得到 \(\geq k\) 段）。

2. 算法选择：

   • 整数二分（Binary Search on Answer）：在答案域 \([1, \max(L_i)]\) 上进行二分查找，将"求最大值"转化为"判定可行性"
   • 可行性判定：给定切割长度 \(mid\)，计算所有原木能切出的段数总和 \(\sum_{i=1}^{n} \lfloor L_i / mid \rfloor\)，若总和 \(\geq k\) 则 \(mid\) 可行

3. 关键步骤：

   • 初始化：读取 \(n\)（原木数量）、\(k\)（目标段数）、\(L[1..n]\)（各原木长度）
   • 设定搜索范围：左边界 \(l = 0\)，右边界 \(r = 10^8\)（或 \(\max(L_i)\)）
   • 二分判定（当 \(l \leq r\) 且 \(r \neq 0\) 时循环）：
     • 取中点 \(mid = l + (r - l) / 2\)，防止溢出
     • 计算可切割段数：\(tmp = \sum_{i=1}^{n} \lfloor L_i / mid \rfloor\)
     • 判定与调整：
       • 若 \(tmp \geq k\)：\(mid\) 可行，尝试更大的长度，令 \(l = mid + 1\)
       • 若 \(tmp < k\)：\(mid\) 不可行，需要更短的长度，令 \(r = mid - 1\)
   • 输出答案：循环结束时 \(r\) 即为满足条件的最大长度（若始终不可行则 \(r = 0\)）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log \max(L_i))\)，二分约 \(\log 10^8 \approx 27\) 次，每次判定 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储原木长度数组

5. 整数二分的核心思想：

   • 答案域单调性：切割长度 \(l\) 越大，能得到的段数越少，具有单调递减性，满足二分条件
   • 判定与搜索分离：不直接求解，而是构造判定函数 \(check(mid)\) 判断可行性，将最优化问题转化为判定问题
   • 边界处理技巧：使用 \(l = mid + 1\) 和 \(r = mid - 1\) 避免死循环，最终答案取 \(r\)（最后一个可行的值）
   • 适用场景：求满足条件的最大值/最小值，且条件具有单调性的最优化问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #整数二分

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 全局变量：
// n: 绳子数量
// k: 需要切割的段数
// a[100005]: 存储每根绳子的长度
int n, k, a[100005];

int main()
{
    // 输入绳子数量n和需要切割的段数k
    cin >> n >> k;

    // 输入每根绳子的长度
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> a[i];
    }

    // 初始化二分查找的左右边界
    int l = 0, r = 1e8;

    // 二分查找最大可能的切割长度
    while (l <= r && r != 0)
    {
        int tmp = 0;  // 记录当前切割长度下能得到的段数
        int mid = l + (r - l) / 2;  // 计算中间值，防止溢出

        // 计算所有绳子按mid长度切割能得到的段数总和
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            tmp += a[i] / mid;
        }

        // 根据计算结果调整搜索范围
        if (tmp >= k)
        {
            l = mid + 1;  // 可以切割更长，向右搜索
        }
        else if (tmp < k)
        {
            r = mid - 1;  // 需要切割更短，向左搜索
        }
    }

    // 输出最终确定的最大切割长度
    cout << r << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

3 7
232
124
456
114