题解：洛谷 P2419 Cow Contest

【题目来源】

洛谷：P2419 [USACO08JAN] Cow Contest S - 洛谷

【题目描述】

FJ 的 \(N\)（\(1 \leq N \leq 100\)）头奶牛们最近参加了场程序设计竞赛。在赛场上，奶牛们按 \(1, 2, \cdots, N\) 依次编号。每头奶牛的编程能力不尽相同，并且没有哪两头奶牛的水平不相上下，也就是说，奶牛们的编程能力有明确的排名。整个比赛被分成了若干轮，每一轮是两头指定编号的奶牛的对决。如果编号为 \(A\) 的奶牛的编程能力强于编号为 \(B\) 的奶牛（\(1 \leq A, B \leq N\)，\(A \neq B\))，那么她们的对决中，编号为 \(A\) 的奶牛总是能胜出。FJ 想知道奶牛们编程能力的具体排名，于是他找来了奶牛们所有 \(M\)（\(1 \leq M \leq 4,500\)）轮比赛的结果，希望你能根据这些信息，推断出尽可能多的奶牛的编程能力排名。比赛结果保证不会自相矛盾。

【输入】

第一行两个用空格隔开的整数 \(N, M\)。

第 \(2\sim M + 1\) 行，每行为两个用空格隔开的整数 \(A, B\) ，描述了参加某一轮比赛的奶牛的编号，以及结果（每行的第一个数的奶牛为胜者）。

【输出】

输出一行一个整数，表示排名可以确定的奶牛的数目。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 头奶牛和 \(M\) 场比赛结果（\(A\) 胜 \(B\) 表示 \(A\) 能力 \(> B\)），求排名可以完全确定的奶牛数量。排名可确定意味着该奶牛与其他 \(N-1\) 头奶牛的关系都是已知的（直接或间接）。这是一个传递闭包（Floyd-Warshall）问题，关键在于利用比赛结果的传递性，通过Floyd算法计算所有可达关系。
算法选择：
- Floyd-Warshall 传递闭包：\(d[i][j] = 1\) 表示 \(i\) 的能力 \(> j\)（\(i\) 可到达 \(j\)）。若 \(i > k\) 且 \(k > j\)，则 \(i > j\)
- 排名可确定性判定：奶牛 \(i\) 排名可确定 \(\Leftrightarrow\) 对于其他任意奶牛 \(j\)，\(i > j\) 或 \(j > i\) 至少一个成立，即 \(i\) 与其他 \(N-1\) 头奶牛都有确定的强弱关系
关键步骤：
- 初始化：\(d[i][j] = 1\) 若 \(i\) 直接战胜 \(j\)
- Floyd 传递闭包（\(k, i, j\) 三重循环）：
  - 若 d[i][k] && d[k][j]，则 d[i][j] = 1
- 统计可确定排名的奶牛（遍历 \(i\) 从 \(1\) 到 \(N\)）：
  - \(s = \sum_{j=1}^{N}(d[j][i] + d[i][j])\)
  - 若 \(s = N - 1\)，则 ans++（\(i\) 与其他 \(N-1\) 头都有确定关系）
- 输出 ans
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(N^3)\)，Floyd 三重循环
- 空间复杂度：\(O(N^2)\)，邻接矩阵
传递闭包判定排名的核心思想：
- 比赛结果的图建模：将每场比赛结果 \(A\) 胜 \(B\) 建模为有向边 \(A \to B\)，表示 \(A\) 强于 \(B\)
- 传递性的利用：若 \(A > B\) 且 \(B > C\)，则 \(A > C\)。Floyd 算法通过中转点 \(k\) 枚举所有间接关系，补全缺失的边
- 排名确定的条件：一头奶牛的排名完全确定，当且仅当它与所有其他奶牛都有直接或间接的胜负关系（即在全序关系中位置固定）
- 计数技巧：\(d[j][i] + d[i][j]\) 表示 \(i\) 与 \(j\) 是否有确定关系（至少一个方向可达）。\(s = N-1\) 意味着 \(i\) 与其他 \(N-1\) 头都有关系（注意 \(d[i][i]\) 不计入）
- 适用于"偏序关系补全为全序，统计全序中位置确定的元素"问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #Floyd

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 105;           // 最大顶点数
int n, m;                    // n: 顶点数, m: 边数
int d[N][N];                 // 邻接矩阵，d[i][j]=1表示i可到达j
int ans;                     // 满足条件的顶点个数

/**
 * 传递闭包算法
 * 基于Floyd-Warshall思想，计算有向图的可达性
 * 如果i可到达k，且k可到达j，则i可到达j
 */
void floyd()
{
    // 三重循环，k为中转点
    for (int k = 1; k <= n; k++)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = 1; j <= n; j++)
            {
                // 如果i可到达k，且k可到达j，则i可到达j
                if (d[i][k] && d[k][j])
                {
                    d[i][j] = 1;  // 标记i可到达j
                }
            }
        }
    }
}

int main()
{
    // 输入顶点数和边数
    cin >> n >> m;

    // 构建有向图
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        d[x][y] = 1;  // 有向边x→y
    }

    // 计算传递闭包
    floyd();

    // 统计满足条件的顶点个数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int s = 0;  // 统计与顶点i有可达关系的顶点数

        // 计算到达i的顶点数 + i到达的顶点数
        for (int j = 1; j <= n; j++)
        {
            s += d[j][i];  // 统计有多少顶点可到达i
            s += d[i][j];  // 统计i可到达多少顶点
        }

        // 如果i与其他n-1个顶点都有可达关系，计数加1
        if (s == n - 1)
        {
            ans++;
        }
    }

    // 输出满足条件的顶点个数
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:28 团爸讲算法阅读(13) 评论(0) 收藏举报

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