题解：洛谷 P1969 积木大赛

【题目来源】

洛谷：P1969 [NOIP 2013 提高组] 积木大赛 - 洛谷

【题目描述】

春春幼儿园举办了一年一度的“积木大赛”。今年比赛的内容是搭建一座宽度为 \(n\) 的大厦，大厦可以看成由 \(n\) 块宽度为 \(1\) 的积木组成，第 \(i\) 块积木的最终高度需要是 \(h_i\)。

在搭建开始之前，没有任何积木（可以看成 \(n\) 块高度为 \(0\) 的积木）。接下来每次操作，小朋友们可以选择一段连续区间 \([l, r]\)，然后将第 \(L\) 块到第 \(R\) 块之间（含第 \(L\) 块和第 \(R\) 块）所有积木的高度分别增加 \(1\)。

小 M 是个聪明的小朋友，她很快想出了建造大厦的最佳策略，使得建造所需的操作次数最少。但她不是一个勤于动手的孩子，所以想请你帮忙实现这个策略，并求出最少的操作次数。

【输入】

包含两行，第一行包含一个整数 \(n\)，表示大厦的宽度。

第二行包含 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数为 \(h_i\)。

【输出】

建造所需的最少操作数。

【输入样例】

5
2 3 4 1 2

【输出样例】

5

【核心思想】

1. 问题分析：给定目标高度序列 \(h_1, h_2, \ldots, h_n\)，初始全为 \(0\)。每次操作可选择一段连续区间 \([l, r]\)，将区间内所有高度 \(+1\)。求最少操作次数使序列达到目标。这是一个贪心差分问题，关键在于发现：每次操作对应给某个区间 \(+1\)，最少操作次数等于所有"上升段"的高度差之和。

2. 算法选择：

   • 贪心累加差分：从左到右遍历，若当前高度 \(h_i > h_{i-1}\)，则需要额外 \(h_i - h_{i-1}\) 次操作来填补这个"上升缺口"

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(n\) 和高度数组 \(h[1..n]\)（\(h[0] = 0\)）
   • 贪心计算（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 若 \(h[i] > h[i-1]\)：ans += h[i] - h[i-1]
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，线性遍历
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，高度数组

5. 贪心差分的核心思想：

   • 区间覆盖的叠加性：每个操作给区间 \(+1\)，多个操作的叠加效果等价于每个位置被覆盖的次数等于其高度
   • 上升缺口的必要性：若 \(h_i > h_{i-1}\)，位置 \(i\) 比位置 \(i-1\) 高出的部分无法被包含 \(i-1\) 的区间操作覆盖（因为那些操作也会给 \(i-1\) 加 \(1\)），必须单独开启新的区间操作
   • 下降段的复用：若 \(h_i \leq h_{i-1}\)，位置 \(i\) 的高度可以被覆盖 \(i-1\) 的区间操作顺带覆盖，无需额外操作
   • 形式化证明：设 \(d_i = h_i - h_{i-1}\)（\(h_0 = 0\)），则 \(\sum_{i: d_i > 0} d_i = \sum_{i=1}^n \max(0, h_i - h_{i-1})\) 即为最少操作次数
   • 适用于"区间增量覆盖序列目标"的贪心问题，核心在于差分思想识别必须单独开启的操作

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX_N = 100005;  // 定义数组最大长度
int n;                     // 山峰数量
int h[MAX_N];              // 存储山峰高度
int ans;                   // 存储最终结果（总浇水次数）

int main()
{
    // 输入山峰数量
    cin >> n;

    // 输入每个山峰的高度
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> h[i];

    // 计算需要浇水的最少次数
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        // 如果当前山峰比前一个高，需要增加浇水次数
        if (h[i] > h[i - 1])
            ans += h[i] - h[i - 1];
    }

    // 输出结果
    cout << ans << endl;

    return 0;
}

【运行结果】

5
2 3 4 1 2
5