题解：洛谷 P1849 Tractor

【题目来源】

【题目描述】

经过一天漫长的工作，农场主 John 完全忘记了他的拖拉机还在场地中央。他的奶牛们总喜欢和他搞些恶作剧，它们在场地的不同位置丢下 \(n\) 堆干草。这样 John 就必须先移走一些干草堆才能将拖拉机开走。

拖拉机和干草堆都可以看作是二维平面上的点，它们的坐标都是整数，没有哪堆干草的坐标和拖拉机的初始坐标一致。John 驾驶拖拉机只能沿着坐标轴的方向移动若干单位长度，比如说，他可以先朝北移动 \(2\) 个单位长度，再向东移动 \(3\) 个单位长度等等。拖拉机不能移动到干草堆所占据的点。

请你帮助 John 计算一下，最少要移动多少堆干草才能将拖拉机开回坐标原点。

【输入】

输入的第一行是三个用空格隔开的整数，依次代表干草的堆数 \(n\) 和拖拉机的起始坐标 \((x_0, y_0)\)。

第 \(2\) 行到第 \((n+1)\) 行，每行有两个用空格隔开的整数，第 \((i + 1)\) 行的整数 \(x_i, y_i\) 代表第 \(i\) 堆干草的坐标为 \((x_i, y_i)\)。

【输出】

一行一个整数，表示最少要移动多少堆干草 John 才能将拖拉机开回坐标原点。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定拖拉机起始坐标 \((x_0, y_0)\) 和 \(n\) 堆干草坐标，拖拉机只能沿坐标轴方向移动，不能经过干草堆。求将拖拉机开回原点 \((0, 0)\) 最少需要移走多少堆干草。这是一个01-BFS（边权为0/1的最短路）问题，关键在于将"经过干草堆需要移走"建模为边权 \(1\)，普通移动边权 \(0\)，求到原点的最小代价。
算法选择：
- 01-BFS（双端队列BFS）：网格中移动到非干草堆位置代价为 \(0\)，移动到干草堆位置代价为 \(1\)（需要移走）。用双端队列实现 \(O(1)\) 处理 \(0\) 权边、\(O(1)\) 处理 \(1\) 权边
- 坐标离散化/网格化：由于坐标范围有限（\(0 \leq x, y \leq 1000\)），直接在网格上运行BFS
关键步骤：
- 初始化网格：a[x][y] = 1 表示该位置有干草堆（代价 \(1\)），否则为 \(0\)（代价 \(0\)）
- 01-BFS（从 \((x_0, y_0)\) 开始）：
  - f[x][y] 表示到达 \((x, y)\) 需要移走的最少干草堆数
  - 初始化 f 为 \(\infty\)，f[x_0][y_0] = 0
  - 使用双端队列：
    - 移动到非干草堆（代价 \(0\)）：从队首入队
    - 移动到干草堆（代价 \(1\)）：从队尾入队
  - 标准BFS扩展四邻域，按边权选择入队位置
- 输出答案：f[0][0]
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(XY)\)，\(X, Y\) 为坐标范围（本题中约 \(1000 \times 1000\)）
- 空间复杂度：\(O(XY)\)，f 数组和访问标记
01-BFS 的核心思想：
- 代价建模：将"移走干草堆"这一操作转化为移动到该格子的代价 \(1\)，普通移动代价 \(0\)，问题转化为求到原点的最小代价路径
- 双端队列优化：边权只有 \(0\) 和 \(1\) 时，用双端队列替代Dijkstra的优先队列，\(0\) 权边从队首扩展（保证先处理）、\(1\) 权边从队尾扩展，实现 \(O(V+E)\) 时间复杂度
- 网格化直接处理：坐标范围较小，无需离散化，直接在二维网格上BFS
- 最短路即最少移除：到达原点的最小代价等于路径上经过的干草堆数量，即最少需要移走的干草堆数
- 适用于"网格移动有代价、求最小代价路径"的问题，特别是边权仅为0/1的场景

【算法标签】

普及+ #BFS-二维

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;  // 定义坐标对类型
const int N = 1005;  // 最大网格尺寸
int n;  // 输入的火把数量
int a[N][N], f[N][N];  // a: 标记危险位置，f: 从起点到每个点的最短路径长度
int dx[4] = {-1, 1, 0, 0};  // 方向数组：上下左右
int dy[4] = {0, 0, -1, 1};  // 方向数组：上下左右

/**
 * 广度优先搜索计算最短路径
 * @param x 起始点x坐标
 * @param y 起始点y坐标
 */
void bfs(int x, int y)
{
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));  // 初始化距离为无穷大
    f[x][y] = 0;  // 起点距离为0
    queue<PII> q;  // 定义队列
    q.push({x, y});  // 将起点加入队列

    while (!q.empty())  // 当队列不为空时
    {
        int xx = q.front().first, yy = q.front().second;  // 取出队头坐标
        q.pop();  // 弹出队头

        for (int i = 0; i < 4; i++)  // 遍历四个方向
        {
            int nx = xx + dx[i], ny = yy + dy[i];  // 计算相邻位置

            if (nx < 0 || nx > 1001 || ny < 0 || ny > 1001)  // 越界检查
                continue;

            // 如果通过当前点到达相邻点距离更短
            if (f[nx][ny] > f[xx][yy] + a[nx][ny])
            {
                f[nx][ny] = f[xx][yy] + a[nx][ny];  // 更新最短距离
                q.push({nx, ny});  // 将新位置加入队列
            }
            // 调试输出
            // cout << "nx ny a[nx][ny] " << nx << " " << ny << " " << a[nx][ny] << endl;
            // cout << "f[] " << f[nx][ny] << endl;
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n;  // 输入火把数量
    int x0, y0;
    cin >> x0 >> y0;  // 输入起始坐标

    // 标记火把位置
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x, y;
        cin >> x >> y;  // 输入火把坐标
        a[x][y] = 1;  // 标记该位置为危险位置
    }

    bfs(x0, y0);  // 计算从起点到所有位置的最短路径

    // 调试输出
    // for (int i=0; i<=8; i++)
    // {
    //     for (int j=0; j<=8; j++)
    //         cout << f[i][j] << " ";
    //     cout << endl;
    // }

    cout << f[0][0] << endl;  // 输出到达(0,0)的最短路径长度
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:27 团爸讲算法阅读(14) 评论(0) 收藏举报

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