题解：洛谷 P14921 城市规划

【题目来源】

洛谷：P14921 [GESP202512 七级] 城市规划 - 洛谷

【题目描述】

A 国有 \(n\) 座城市，城市之间由 \(m\) 条双向道路连接，任意一座城市均可经过若干条双向道路到达另一座城市。城市依次以 \(1,2,\ldots,n\) 编号。第 \(i\)（\(1\le i\le m\)）条双向道路连接城市 \(u_i\) 与城市 \(v_i\)。

对于城市 \(u\) 和城市 \(v\) 而言，它们之间的连通度 \(d(u,v)\) 定义为从城市 \(u\) 出发到达城市 \(v\) 所需经过的双向道路的最少条数。由于道路是双向的，可以知道连通度满足 \(d(u,v)=d(v,u)\)，特殊地有 \(d(u,u)=0\)。

现在 A 国正在规划城市建设方案。城市 \(u\) 的建设难度为它到其它城市的最大连通度。请你求出建设难度最小的城市，如果有多个满足条件的城市，则选取其中编号最小的城市。形式化地，你需要求出使得 \(\max\limits_{1\le i\le n}d(u,i)\) 最小的 \(u\)，若存在多个可能的 \(u\) 则选取其中最小的。

【输入】

第一行，两个正整数 \(n,m\)，表示 A 国的城市数量与双向道路数量。

接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(u_i,v_i\)，表示一条连接城市 \(u_i\) 与城市 \(v_i\) 的双向道路。

【输出】

输出一行，一个整数，表示建设难度最小的城市编号。如果有多个满足条件的城市，则选取其中编号最小的城市。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(n\) 个节点 \(m\) 条边的无向连通图，定义城市 \(u\) 的建设难度为 \(\max_{1 \leq i \leq n} d(u, i)\)（即 \(u\) 到其他所有节点的最远距离，也称为图的偏心距）。求建设难度最小的城市（图的中心），若有多个取编号最小。这是一个多源BFS求图中心问题。
算法选择：
- BFS（广度优先搜索）：无权图单源最短路的标准算法
- 全源BFS：对每个节点运行一次BFS，计算其到所有其他节点的最远距离
- 最小偏心距筛选：记录所有节点中最小的最大距离（偏心距），取对应节点
关键步骤：
- 读入数据：\(n, m\) 和 \(m\) 条边，建立邻接表
- 对每个节点 \(i\) 运行BFS：
  - 初始化 vis 数组，maxs = 0
  - 队列存储 (节点, 距离)
  - 标准BFS扩展，更新 maxs = max(maxs, d)
  - BFS结束后，若 maxs < ansd，更新 ansd = maxs, ansid = i
- 输出 ansid
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n \cdot (n + m))\)，对每个节点运行一次BFS
- 空间复杂度：\(O(n + m)\)，邻接表和访问标记
全源BFS求图中心的核心思想：
- 偏心距定义：节点 \(u\) 的偏心距 \(ecc(u) = \max_v d(u,v)\)，即 \(u\) 到最远节点的距离。图中心是偏心距最小的节点
- 无权图BFS最优性：无权图中BFS按层扩展，第一次访问节点时距离即为最短距离
- 全源遍历的必要性：图中心不一定在直径上（与树不同），必须计算每个节点的偏心距才能确定全局最小
- 编号最小处理：遍历顺序从 \(1\) 到 \(n\)，仅在 ansd > maxs（严格大于）时更新，保证相同偏心距时保留编号更小的节点
- 适用于"无权图中心/偏心距"问题，核心在于全源BFS和最小最大距离筛选

【算法标签】

普及 #BFS-图

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;  // 定义pair类型别名，用于存储(节点编号, 距离)
const int N = 2005;  // 定义最大节点数
int n, m, u, v, ansd = 1e9, ansid;  // n: 节点数，m: 边数，u、v: 临时变量，ansd: 最小直径，ansid: 对应节点编号
vector<int> a[N];  // 邻接表存储图
queue<PII> q;  // BFS队列，存储(节点编号, 距离)
bool vis[N];  // 标记数组，记录节点是否被访问过

// 广度优先搜索函数，计算以x为起点的最大距离
void bfs(int x)
{
    memset(vis, 0, sizeof(vis));  // 初始化访问标记数组
    int maxs = 0, d;  // maxs: 从x出发的最大距离，d: 当前节点距离
    q.push({x, 0});  // 起点入队，距离为0

    while (!q.empty())  // 队列不为空时循环
    {
        int u = q.front().first, d = q.front().second;  // 获取队首节点和距离
        q.pop();  // 弹出队首
        if (vis[u])  // 如果节点已访问，跳过
            continue;
        vis[u] = 1;  // 标记节点已访问
        maxs = max(maxs, d);  // 更新最大距离

        for (int i = 0; i < a[u].size(); i++)  // 遍历当前节点的所有邻接点
        {
            q.push({a[u][i], d + 1});  // 邻接点入队，距离加1
        }
    }

    // 更新全局最小直径和对应节点
    if (ansd > maxs)
    {
        ansd = maxs;  // 更新最小直径
        ansid = x;  // 记录达到最小直径的节点编号
    }
}

int main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入节点数和边数
    while (m--)  // 读入所有边
    {
        cin >> u >> v;  // 输入边的两个端点
        a[u].push_back(v);  // 添加无向边
        a[v].push_back(u);  // 添加无向边
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 对每个节点进行BFS
        bfs(i);

    cout << ansid << endl;  // 输出中心节点编号
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:27 团爸讲算法阅读(19) 评论(0) 收藏举报

刷新页面返回顶部

题解：洛谷 P14921 城市规划

普及 #BFS-图

公告