题解：洛谷 P14635 糖果店

【题目来源】

洛谷：P14635 [NOIP2025] 糖果店 - 洛谷

【题目描述】

小 X 开了一家糖果店，售卖 \(n\) 种糖果，每种糖果均有无限颗。对于不同种类的糖果，小 X 采用了不同的促销策略。具体地，对于第 \(i\) (\(1 \le i \le n\)）种糖果，购买第一颗的价格为 \(x_i\) 元，第二颗为 \(y_i\) 元，第三颗又变回 \(x_i\) 元，第四颗则为 \(y_i\) 元，以此类推。

小 R 带了 \(m\) 元钱买糖果。小 R 不关心糖果的种类，只想得到数量尽可能多的糖果。你需要帮助小 R 求出，\(m\) 元钱能购买的糖果数量的最大值。

【输入】

输入的第一行包含两个正整数 \(n, m\)，代表糖果的种类数和小 R 的钱数。

输入的第 \(i+1\) (\(1 \le i \le n\)）行包含两个正整数 \(x_i, y_i\)，分别表示购买第 \(i\) 种糖果时第奇数颗的价格和第偶数颗的价格。

【输出】

输出一行一个非负整数，表示 \(m\) 元钱能购买的糖果数量的最大值。

【输入样例】

2 10
4 1
3 3

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 种糖果，每种有无限颗，价格交替为 \(x_i\)（奇数颗）和 \(y_i\)（偶数颗）。带 \(m\) 元钱，求最多能买多少颗。这是一个反悔贪心问题，关键在于：每两颗糖果（一奇一偶）构成一个"购买周期"，成本为 \(x_i + y_i\)。最优策略是先按某种规则买第一颗，然后用最便宜的周期反复购买。

2. 算法选择：

   • 周期成本分析：每种糖果的两颗周期成本为 \(S_i = x_i + y_i\)，找到最小周期成本 minS = min(S_i)
   • 排序 + 枚举：按 \(x_i\) 升序排序，枚举购买前 \(i\) 种糖果的第一颗（花费 \(\sum_{j=1}^i x_j\)），剩余钱用 minS 周期反复购买
   • 反悔机制：排序后枚举所有可能的"首次购买组合"，取最大值

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(n, m\) 和每种糖果的 \(x_i, y_i\)，计算 minS = min(x_i + y_i)
   • 排序：按 \(x_i\) 升序排序
   • 枚举（\(i\) 从 \(0\) 到 \(n\)）：
     • sum += a[i].x（累计前 \(i\) 种糖果的第一颗花费）
     • 若 m < sum，跳过（预算不足）
     • ans = max(ans, (m - sum) / minS * 2 + i)
       • (m - sum) / minS：剩余预算可购买的完整周期数
       • * 2：每个周期2颗糖
       • + i：已购买的 \(i\) 颗第一颗糖
   • 输出 ans

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，排序 \(O(n \log n)\)，枚举 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储糖果信息

5. 反悔贪心 + 周期分析的核心思想：

   • 周期购买的最优性：买偶数颗糖时，必然成对购买（奇+偶）最划算，因为单独买偶数颗没有对应的奇数颗前提是不可能的
   • 最小周期成本的复用：找到所有糖果中 \(x_i + y_i\) 最小的，用剩余预算尽可能多地购买该周期，这是贪心最优的
   • 首次购买的枚举：排序后枚举前 \(i\) 种糖果各买第一颗，因为 \(x_i\) 小的优先买第一颗更可能使总数量最大化
   • 反悔的本质：不预先确定买哪些糖果的第一颗，而是枚举所有可能，用全局最优覆盖局部贪心
   • 适用于"交替价格 + 无限购买"的最优化问题，核心在于周期成本分析和枚举反悔

【算法标签】

普及 #反悔贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 100005;
int n, m, ans;  // n: 物品数量，m: 总预算，ans: 最大价值
struct Node
{
    int x, y;  // x: 购买价格，y: 回收价格
} a[N];

bool cmp(Node x, Node y)  // 排序比较函数，按购买价格升序排序
{
    return x.x < y.x;
}

signed main()
{
    cin >> n >> m;  // 输入物品数量和总预算
    int minS = 1e18;  // 初始化最小成本为无穷大
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输入每个物品的信息
    {
        int x, y;
        cin >> a[i].x >> a[i].y;  // 输入购买价格和回收价格
        minS = min(minS, a[i].x + a[i].y);  // 更新最小成本（购买+回收的价格）
    }

    sort(a + 1, a + n + 1, cmp);  // 按购买价格升序排序
    int sum = 0;  // 已花费的总和
    for (int i = 0; i <= n; i++)  // 遍历前i个物品，i从0到n
    {
        sum += a[i].x;  // 累计购买价格
        if (m < sum)  // 如果总预算不够购买前i个物品
            continue;  // 跳过当前i

        // 计算当前方案的最大价值
        // 先购买前i个物品，剩余的钱可以多次购买回收最便宜的商品
        // (m - sum)/minS * 2: 剩余预算可购买的次数 * 2（买入卖出一次算2次操作）
        // + i: 已经购买的物品数量
        ans = max(ans, (m - sum) / minS * 2 + i);
    }
    cout << ans << endl;  // 输出最大价值
    return 0;
}

【运行结果】

2 10
4 1
3 3
4