题解：洛谷 P1346 电车

【题目来源】

洛谷：P1346 [CHCI 2002 Regional Competition Juniors] 电车

【题目描述】

在一个神奇的小镇上有着一个特别的电车网络，它由一些路口和轨道组成，每个路口都连接着若干个轨道，每个轨道都通向一个路口（不排除有的观光轨道转一圈后返回路口的可能）。在每个路口，都有一个开关决定着出去的轨道，每个开关都有一个默认的状态，每辆电车行驶到路口之后，只能从开关所指向的轨道出去，如果电车司机想走另一个轨道，他就必须下车切换开关的状态。

为了行驶向目标地点，电车司机不得不经常下车来切换开关，于是，他们想请你写一个程序，计算一辆电车从路口 \(A\) 到路口 \(B\)，司机最少需要下车切换几次开关。

【输入】

第一行有 \(3\) 个整数 \(N,A,B\)（\(2 \leq N \leq 100, 1 \leq A,B \leq N\)），分别表示路口的数量，和电车的起点，终点。

接下来有 \(N\) 行，每行的开头有一个数字 \(K_i\)（\(0 \leq K_i \leq N-1\)），表示这个路口与 \(K_i\) 条轨道相连，接下来有 \(K_i\) 个数字表示每条轨道所通向的路口，开关默认指向第一个数字表示的轨道。

【输出】

输出文件只有一个数字，表示从 \(A\) 到 \(B\) 所需的最少的切换开关次数，若无法从 \(A\) 前往 \(B\)，输出 \(-1\)。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 \(N\) 个路口的有向图，每个路口有 \(K_i\) 条出边，其中第一条为默认轨道（无需切换，边权 \(0\)），其余轨道均需切换开关（边权 \(1\)）。求从路口 \(A\) 到路口 \(B\) 的最少切换次数。这是一个边权为 \(0\) 或 \(1\) 的最短路径问题，可用 SPFA 或 0-1 BFS 求解。
算法选择：
- SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）：基于 Bellman-Ford 的队列优化，适合处理边权非负的一般图最短路
- 边权建模：默认轨道边权为 \(0\)，非默认轨道边权为 \(1\)，将"切换次数"转化为图上的带权最短路
关键步骤：
- 初始化：读取 \(N\)（路口数）、\(A\)（起点）、\(B\)（终点）
- 建图（遍历每个路口 \(i\)）：
  - 读取 \(K_i\)（出边数量）
  - 读取 \(K_i\) 个目标路口，第 \(1\) 个边权为 \(0\)，其余边权为 \(1\)，加入邻接表 \(g[i]\)
- SPFA 求最短路：
  - 初始化 \(dist[1..N] = \infty\)，\(dist[A] = 0\)，起点 \(A\) 入队
  - 当队列非空时：
    - 取出队首 \(u\)
    - 遍历 \(u\) 的所有出边 \((v, w)\)：
      - 松弛操作：若 \(dist[v] > dist[u] + w\)，则更新 \(dist[v] = dist[u] + w\)，并将 \(v\) 入队
- 输出答案：若 \(dist[B] = \infty\) 输出 \(-1\)，否则输出 \(dist[B]\)
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(k \cdot E)\)，其中 \(k\) 为平均入队次数，\(E\) 为总边数；在边权为 \(0/1\) 的特殊图中效率接近 \(O(E)\)
- 空间复杂度：\(O(N + E)\)，邻接表存储 + 距离数组 + 队列
SPFA 的核心思想：
- 队列优化 Bellman-Ford：只有当一个节点的最短距离被更新时，它的出边才可能影响其他节点，因此仅将更新过的节点入队
- 松弛传播：通过队列将"距离变短"的信息逐层传播到全图，避免对未更新节点做无效松弛
- 0-1 边权特性：本题边权仅为 \(0\) 或 \(1\)，也可用双端队列优化的 0-1 BFS 达到 \(O(E)\) 的严格复杂度
- 适用场景：边权非负且存在负权边的一般图最短路，或稠密图中的单源最短路问题

【算法标签】

普及 #SPFA

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII; // 定义边信息对：first为终点，second为边权（0或1）
const int N = 105; // 最大路口数量
int n, a, b; // n:路口数量, a:起点, b:终点
vector<PII> g[N]; // g[i]:从路口i出发的所有边
int dist[N]; // dist[i]:从起点到路口i的最少切换次数

void spfa()
{
    queue<int> q; // SPFA算法的队列
    memset(dist, 0x3f, sizeof(dist)); // 初始化距离为无穷大
    dist[a] = 0; // 起点到自身的距离为0
    q.push(a); // 起点入队
    while (!q.empty())
    {
        auto u = q.front(); q.pop(); // 取出队首路口
        for (auto t : g[u]) // 遍历从u出发的所有轨道
        {
            int v = t.first, w = t.second; // v:目标路口, w:是否需要切换开关（0或1）
            // 松弛操作：如果从u到v的切换次数更少，则更新距离
            if (dist[v]> dist[u] + w)
            {
                dist[v] = dist[u] + w; // 更新到v的最短距离
                q.push(v); // v入队，继续松弛
            }
        }
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> a >> b; // 读入路口数、起点、终点
    for (int i=1; i<=n; i++) // 读入每个路口的轨道信息
    {
        int k; cin >> k; // k:该路口连接的轨道数量
        for (int j=1; j<=k; j++)
        {
            int x; cin >> x; // x:该轨道通向的路口
            // 第一条轨道是默认轨道，无需切换（边权为0）
            // 其他轨道需要切换开关（边权为1）
            if (j==1) g[i].push_back({x, 0});
            else g[i].push_back({x, 1});
        }
    }
    spfa(); // 运行SPFA求最短路
    // 如果终点不可达，输出-1；否则输出最少切换次数
    if (dist[b]==0x3f3f3f3f)
        cout << -1 << endl;
    else
        cout << dist[b] << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:25 团爸讲算法阅读(9) 评论(0) 收藏举报

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