题解：洛谷 P1144 最短路计数

【题目来源】

【题目描述】

给出一个 $N$ 个顶点 $M$ 条边的无向无权图，顶点编号为 $1\sim N$。问从顶点 $1$ 开始，到其他每个点的最短路有几条。

【输入】

第一行包含 $2$ 个正整数 $N,M$，为图的顶点数与边数。

接下来 $M$ 行，每行 $2$ 个正整数 $x,y$，表示有一条连接顶点 $x$ 和顶点 $y$ 的边，请注意可能有自环与重边。

【输出】

共 $N$ 行，每行一个非负整数，第 $i$ 行输出从顶点 $1$ 到顶点 $i$ 有多少条不同的最短路，由于答案有可能会很大，你只需要输出 $ ans \bmod 100003$ 后的结果即可。如果无法到达顶点 $i$ 则输出 $0$。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定无向无权图，求从顶点 $1$ 到每个顶点的最短路径数量（对 $100003$ 取模）。这是一个BFS 最短路计数问题，关键在于利用无权图 BFS 按层扩展的特性，在第一次访问节点时记录路径数，在再次以相同距离访问时累加路径数。
算法选择：
- BFS（广度优先搜索）：无权图最短路的标准算法，按距离层次扩展
- 路径数动态维护：cnt[v] 记录到 $v$ 的最短路径数，首次访问时继承，同层访问时累加
关键步骤：
- 初始化：dist[1] = 0, cnt[1] = 1，其余 `dist = -1, cnt = 0$
- BFS 扩展（队列非空时）：
  - 取出队首 $u$
  - 遍历邻接点 $v$：
    - 首次访问（dist[v] == -1）：dist[v] = dist[u] + 1，cnt[v] = cnt[u]，$v$ 入队
    - 同层到达（dist[v] == dist[u] + 1）：cnt[v] = (cnt[v] + cnt[u]) % mod
- 输出 cnt[1..n]
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：$O(N + M)$，每个节点和边最多被访问一次
- 空间复杂度：$O(N + M)$，邻接表、距离数组、计数数组
BFS 最短路计数的核心思想：
- 层次分离性：BFS 按距离层次扩展，第一次访问 $v$ 时得到的 dist[v] 一定是最短距离。后续只有距离相同的边才能贡献额外最短路
- 路径数传递：若 $u$ 到 $1$ 有 $cnt[u]$ 条最短路，且 $v$ 首次通过 $u$ 到达，则 $v$ 继承 $cnt[u]$ 条
- 同层累加：若多个父节点 $u_1, u_2, \ldots$ 都在最短路的上一层且都指向 $v$，则 $v$ 的最短路数为各父节点路径数之和
- 取模处理：路径数可能极大，每次累加后取模防止溢出
- 适用于"无权图单源最短路计数"问题，核心在于 BFS 的层次性和路径数的动态传递

【算法标签】

普及+ #BFS-图

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1000005, M = 2000005 * 2, mod = 100003;
int n, m;  // n: 节点数，m: 边数
int h[N], e[M], ne[M], idx;  // 邻接表存储图
int dist[N], cnt[N];  // dist: 节点到起点的最短距离，cnt: 到节点的最短路径数量
vector<int> ans[N];  // 未使用的数组

// 添加无向边
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;  // 边的终点
    ne[idx] = h[a];  // 指向a的下一条边
    h[a] = idx++;  // 更新a的头节点
}

queue<int> q;  // BFS队列

// 广度优先搜索，计算最短路径长度和数量
void bfs()
{
    memset(dist, -1, sizeof(dist));  // 初始化距离为-1（表示未访问）
    q.push(1);  // 从节点1开始
    dist[1] = 0;  // 起点距离为0
    cnt[1] = 1;  // 到起点的最短路径数量为1

    while (!q.empty())  // BFS遍历
    {
        int u = q.front();  // 取出队首
        q.pop();  // 弹出队首

        for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])  // 遍历u的所有邻接点
        {
            int v = e[i];  // 邻接点v
            if (dist[v] == -1)  // 如果v未访问
            {
                dist[v] = dist[u] + 1;  // 更新v的距离
                cnt[v] = cnt[u];  // 路径数量等于u的路径数量
                q.push(v);  // v入队
            }
            else if (dist[v] == dist[u] + 1)  // 如果找到另一条最短路径
            {
                cnt[v] = (cnt[v] + cnt[u]) % mod;  // 累加路径数量
            }
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);  // 输入节点数和边数
    memset(h, -1, sizeof(h));  // 初始化邻接表

    while (m--)  // 输入所有边
    {
        int u, v;
        scanf("%d%d", &u, &v);
        add(u, v), add(v, u);  // 添加无向边
    }

    bfs();  // 执行BFS计算最短路径

    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 输出每个节点的最短路径数量
        printf("%d\n", cnt[i]);

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:25 团爸讲算法阅读(23) 评论(0) 收藏举报

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