题解：洛谷 P11249 小杨寻宝

【题目来源】

洛谷：P11249 [GESP202409 七级] 小杨寻宝 - 洛谷

【题目描述】

小杨有一棵包含 \(n\) 个节点的树，树上的一些节点放置有宝物。

小杨可以任意选择一个节点作为起点并在树上移动，但是小杨只能经过每条边至多一次，当小杨经过一条边后，这条边就会消失。小杨每经过一个放置有宝物的节点就会取得该宝物。

小杨想请你帮他判断自己能否成功取得所有宝物。

【输入】

本题单个测试点内有多组测试数据。输入第一行包含一个正整数 \(t\)，代表测试用例组数。
接下来是 \(t\) 组测试用例。对于每组测试用例，一共 \(n+1\) 行。

第一行包含一个正整数 \(n\)，代表树的节点数。
第二行包含 \(n\) 个非负整数 \(a_1, a_2, \dots a_n\)，其中如果 \(a_i = 1\)，则节点 \(i\) 放置有宝物；若 \(a_i = 0\)，则节点 \(i\) 没有宝物。
之后 \(n - 1\) 行，每行包含两个正整数 \(x_i, y_i\)，代表存在一条连接节点 \(x_i\) 和 \(y_i\) 的边。

【输出】

对于每组测试数据，如果小杨能成功取得所有宝物，输出 Yes，否则输出 No。

【输入样例】

【输出样例】

Yes
No

【核心思想】

问题分析：给定一棵 \(n\) 个节点的树，部分节点有宝物。小杨从某节点出发，每条边最多经过一次（经过后消失），要求经过所有有宝物的节点。判断是否存在这样的路径。这是一个树形DFS + 贪心验证问题，关键在于分析有宝物节点的分布约束：每个非根节点的子树中，若有多于1个"需要访问的宝物分支"，则无法在不重复经过边的情况下覆盖。
算法选择：
- 树形DFS（后序遍历）：自底向上统计每个节点的子树中需要访问的宝物节点数量
- 贪心约束验证：对每个节点，检查其子树中需要访问的分支数是否超过限制（根节点最多2个分支，非根节点最多1个分支）
关键步骤：
- 读入数据：\(t\) 组测试用例，每组读入 \(n\)、宝物数组 \(a[1..n]\)、\(n-1\) 条边
- 找根节点：任选一个 \(a_i = 1\) 的节点作为根（若没有宝物则 trivially Yes）
- DFS 自底向上处理（参数 \(u\) 当前节点，\(fa\) 父节点）：
  - res = 子树中需要访问的宝物节点之和
  - 遍历子节点 \(j\)（跳过父节点）：
    - 递归 dfs(j, u)
    - res += a[j]（子节点若有宝物或需要经过，则计入）
  - 若 res > 0，则 a[u] = 1（当前节点需要被经过）
  - 约束检查：
    - 根节点：若 res > 2，flag = false（根最多连接2个需要访问的分支）
    - 非根节点：若 res > 1，flag = false（非根节点最多连接1个需要访问的分支）
- 输出 flag ? "Yes" : "No"
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(t \cdot n)\)，每组数据一次DFS遍历整棵树
- 空间复杂度：\(O(n)\)，邻接表和递归栈
树形DFS贪心约束的核心思想：
- 边消失约束的本质：每条边只能走一次，意味着从父节点进入子树后，若子树中有多个分散的宝物，无法在不重复走边的情况下全部收集
- 分支数限制：非根节点最多只能有1个"需要深入访问的子分支"，否则进入该分支后无法再去另一个分支（边已消失）。根节点可以有2个（作为起点和终点）
- 自底向上传播：子树中若有宝物需要收集，则父节点必须经过。a[u] 被置1表示该节点是"必须经过的节点"
- 贪心验证的正确性：若某节点违反分支数限制，则不存在合法路径；若所有节点都满足，则可以构造一条欧拉路径式的遍历
- 适用于"树上一笔画覆盖指定节点"的可行性判断问题

【解题思路】

【算法标签】

普及 #DFS-树

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100005, M = N * 2;

int T;               // 测试用例数量
int n, a[N], root;  // n: 节点数, a[i]: 节点i的初始值, root: 根节点
int h[N], e[M], ne[M], idx;  // 邻接表存储树
bool flag;          // 标志位，表示当前树是否合法

// 添加无向边
void add(int a, int b)
{
    e[idx] = b;
    ne[idx] = h[a];
    h[a] = idx++;
}

// 深度优先搜索
// u: 当前节点
// fa: 父节点
void dfs(int u, int fa)
{
    if (!flag) return;  // 如果已经发现不合法，直接返回

    int res = 0;  // 记录子节点值的和

    // 遍历所有子节点
    for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
    {
        int j = e[i];  // 子节点
        if (j == fa)   // 跳过父节点
        {
            continue;
        }

        // 递归处理子节点
        dfs(j, u);

        // 累加子节点的值
        res += a[j];
    }

    // 如果子节点的和不为0，将当前节点设为1
    if (res)
    {
        a[u] = 1;
    }

    // 检查约束条件
    if ((u == root && res > 2) || (u != root && res > 1))
    {
        flag = 0;  // 不满足条件，标记为非法
    }
}

int main()
{
    cin >> T;  // 读取测试用例数

    while (T--)
    {
        cin >> n;  // 读取节点数

        // 初始化邻接表
        memset(h, -1, sizeof(h));
        idx = 0;
        root = 0;
        flag = 1;  // 初始假设树是合法的

        // 读取每个节点的初始值
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            cin >> a[i];
        }

        // 找到值为1的节点作为根节点
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            if (a[i] == 1)
            {
                root = i;
                break;
            }
        }

        // 读取树的边
        for (int i = 1; i < n; i++)
        {
            int u, v;
            cin >> u >> v;
            add(u, v);
            add(v, u);
        }

        // 从根节点开始DFS
        dfs(root, 0);

        // 输出结果
        if (flag)
        {
            cout << "Yes" << endl;
        }
        else
        {
            cout << "No" << endl;
        }
    }

    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:25 团爸讲算法阅读(18) 评论(0) 收藏举报

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题解：洛谷 P11249 小杨寻宝

普及 #DFS-树

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