题解：洛谷 P1106 删数问题

【题目来源】

洛谷：P1106 删数问题 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

键盘输入一个高精度的正整数 \(N\)（不超过 \(250\) 位），去掉其中任意 \(k\) 个数字后剩下的数字按原左右次序将组成一个新的非负整数。编程对给定的 \(N\) 和 \(k\)，寻找一种方案使得剩下的数字组成的新数最小。

【输入】

输入两行正整数。

第一行输入一个高精度的正整数 \(n\)。

第二行输入一个正整数 \(k\)，表示需要删除的数字个数。

【输出】

输出一个整数，最后剩下的最小数。

【输入样例】

175438
4

【输出样例】

13

【核心思想】

1. 问题分析：给定高精度正整数 \(N\)（最多250位），删除其中 \(k\) 个数字，使剩余数字组成的新数最小。这是一个贪心单调栈问题，关键在于从左到右遍历，维护一个递增的单调栈，遇到更小的数字时弹出栈顶较大的数字（相当于删除），保证高位尽可能小。

2. 算法选择：

   • 贪心策略：在可删除的范围内选择最小的数字作为当前位。具体地，第 \(i\) 个保留的数字应在 \([mark, k+i]\) 范围内选择最小值（保证后面还有足够的数字可供删除和填充）
   • 范围查找：find_min(l, r) 在 \([l, r]\) 范围内查找最小数字，同时更新下次查找的起始位置

3. 关键步骤：

   • 读入数据：字符串 \(s\)（数字序列）和整数 \(k\)（删除个数），\(n = s.length()\)
   • 构建结果（保留 \(n-k\) 位，\(i\) 从 \(0\) 到 \(n-k-1\)）：
     • tempi = find_min(mark, k + i)：在可删除范围内找最小值
       • 范围右边界 \(r = k + i\)：确保后面还有 \(n - 1 - (k + i) = n - k - i - 1\) 个数字，加上当前选的1个，共 \(n - k - i\) 个，正好填满剩余位数
     • 前导零处理：若 tempi == 0 && flag == 0，跳过不输出
     • flag = 1，输出 tempi
   • 全零处理：若 flag == 0，输出 \(0\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot k)\) 或 \(O(n^2)\)，每次 find_min 线性扫描，共 \(n-k\) 次
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储字符串

5. 贪心范围查找的核心思想：

   • 高位优先原则：数字的大小主要由高位决定，因此每一步应在允许范围内选择最小的数字作为当前高位
   • 可行范围的约束：第 \(i\) 步（从0开始）时，已选了 \(i\) 个数字，还需选 \(n-k-i\) 个。当前可选范围右边界为 \(k+i\)，确保后面至少还有 \(n-k-i-1\) 个数字可供后续选择
   • 前导零的跳过：结果的最高位不能为0（除非结果本身就是0），因此遇到前导零时跳过
   • 与单调栈的等价性：该算法等价于维护一个单调递增栈，遇到更小的数字时弹出前面较大的数字（删除），只是实现方式不同
   • 适用于"删除k位使数字最小"的经典贪心问题，核心在于高位优先和范围约束

【解题思路】

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

string s;                // 定义字符串：存储输入的数字序列
int n, k, tempi;         // 定义变量：数字长度n，删除数字数k，临时存储最小值
int mark = 0, flag = 0;  // 定义变量：查找起始位置mark，前导零标记flag

/**
 * 在指定范围内查找最小数字
 * @param l 查找范围的左边界
 * @param r 查找范围的右边界
 * @return 找到的最小数字
 */
int find_min(int l, int r)
{
    int minc = s[l];      // 初始化最小值为左边界字符
    mark = l + 1;         // 更新查找起始位置

    // 遍历查找范围内的字符
    for (int i = mark; i <= r; i++)
    {
        if (s[i] < minc)  // 找到更小的数字
        {
            minc = s[i];  // 更新最小值
            mark = i + 1; // 更新查找起始位置
        }
    }
    return minc - '0';    // 返回数字值（字符转整数）
}

int main()
{
    cin >> s;             // 输入数字序列
    n = s.length();       // 获取数字长度
    cin >> k;             // 输入要删除的数字个数

    // 构建最小数字序列（保留n-k位）
    for (int i = 0; i < n - k; i++)
    {
        tempi = find_min(mark, k + i);  // 查找当前范围内的最小值

        // 处理前导零情况
        if (tempi == 0 && flag == 0)
        {
            continue;
        }

        flag = 1;         // 标记已出现非零数字
        cout << tempi;    // 输出当前数字
    }

    // 处理全零情况
    if (flag == 0)
        cout << 0;

    return 0;             // 程序正常结束
}

【运行结果】

175438
4
13