题解：洛谷 P1034 矩形覆盖
【题目来源】
洛谷：P1034 [NOIP 2002 提高组] 矩形覆盖 - 洛谷
【题目描述】
在平面上有 \(n\) 个点，每个点用一对整数坐标表示。例如：当 \(n\)\(=\)\(4\) 时，\(4\) 个点的坐标分别为：\(p_1(1,1)\)，\(p_2(2,2)\)，\(p_3(3,6)\)，\(p_4(0,7)\)，见图一。
这些点可以用 \(k\) 个矩形全部覆盖，矩形的边平行于坐标轴。当 \(k\)\(=\)\(2\) 时，可用如图二的两个矩形 \(s_1,s_2\) 覆盖，\(s_1,s_2\) 面积和为 \(4\)。问题是当 \(n\) 个点坐标和 \(k\) 给出后，怎样才能使得覆盖所有点的 \(k\) 个矩形的面积之和为最小呢？
约定：覆盖一个点的矩形面积为 \(0\)；覆盖平行于坐标轴直线上点的矩形面积也为 \(0\)。各个矩形必须完全分开（边线与顶点也都不能重合）。
【输入】
第一行共两个整数 \(n,k\)，含义如题面所示。
接下来 \(n\) 行，其中第 \(i+1\) 行有两个整数 \(x_i,y_i\)，表示平面上第 \(i\) 个点的坐标。
【输出】
共一行一个整数，为满足条件的最小的矩形面积之和。
【输入样例】
4 2
1 1
2 2
3 6
0 7
【输出样例】
4
【核心思想】
-
问题分析：给定平面上 \(n\) 个点，需用 \(k\) 个边平行于坐标轴的矩形覆盖所有点，要求矩形之间完全不相交（边和顶点都不能重合），最小化 \(k\) 个矩形的面积之和。这是一个深度优先搜索 + 剪枝问题，关键在于枚举每个点归属哪个矩形，用 DFS 搜索所有分配方案，并通过当前面积剪枝和最终重叠检查筛选合法解。
-
算法选择：
- DFS 枚举分配：每个点有 \(k\) 种选择（放入 \(k\) 个矩形之一），搜索所有 \(k^n\) 种分配方案
- 矩形动态维护：每个矩形维护 \(x_{\min}, x_{\max}, y_{\min}, y_{\max}\)，加入点时动态更新边界和面积
- 回溯恢复状态：递归前保存矩形状态，递归后恢复，保证搜索树的正确性
- 剪枝优化：当前总面积 \(\geq\) 已知最优解时立即返回
- 重叠检查：所有点分配完毕后，\(O(k^2)\) 检查任意两个矩形是否相交
-
关键步骤：
- 初始化：读入 \(n, k\) 和 \(n\) 个点的坐标
- DFS 搜索（参数 \(x\) 表示已处理前 \(x\) 个点）：
- 剪枝：若当前总面积 \(\geq ans\)，直接返回
- 终止条件：\(x = n\) 时，检查所有矩形是否互不重叠，若合法则更新 \(ans\)
- 枚举分配：尝试将第 \(x+1\) 个点放入矩形 \(i\)（\(1 \leq i \leq k\)）：
- 保存矩形 \(i\) 的当前状态
tmp addPoint(i, x+1)：更新矩形 \(i\) 的边界和面积dfs(x+1)：递归处理下一个点sf[i] = tmp：恢复矩形 \(i\) 的状态（回溯）
- 保存矩形 \(i\) 的当前状态
- 输出：\(ans\)
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(k^n \cdot k^2)\)，每个叶子节点 \(O(k^2)\) 重叠检查，剪枝可大幅减少实际搜索量
- 空间复杂度：\(O(k)\)，递归栈深度 \(O(n)\)，矩形数组 \(O(k)\)
-
DFS + 剪枝的核心思想：
- 状态空间枚举：将"点归属哪个矩形"的分配问题转化为 \(k\) 叉搜索树，DFS 系统遍历所有可能
- 增量式面积计算：矩形边界和面积随点的加入动态更新，避免每次重新计算所有点
- 最优性剪枝：当前总面积已不小于已知最优解时，后续加入点只会使面积增大或不变，不可能得到更优解，直接剪枝
- 合法性延迟检查：重叠约束在叶子节点统一检查，而非每次加入点都检查，减少中间状态判断开销
- 回溯的正确性：通过保存/恢复矩形状态，确保搜索树各分支独立，不互相污染
- 适用于"组合分配 + 约束满足"的小规模搜索问题，核心在于状态表示、剪枝策略和回溯机制
【算法标签】
普及+ #DFS-一维
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 105; // 定义最大点数和最大矩形数
int n; // 点的数量
int k; // 矩形的数量
int a[N], b[N]; // 存储每个点的x和y坐标
int ans = 1e9; // 存储最终结果，初始化为极大值
// 矩形结构体
struct Square
{
int x_min, x_max; // x轴最小最大值
int y_min, y_max; // y轴最小最大值
int area; // 矩形面积
int idx; // 矩形编号
bool flag; // 标记是否已初始化
} sf[5]; // 最多5个矩形
// 计算所有矩形总面积
int getArea()
{
int res = 0;
for (int i = 1; i <= k; i++)
res += sf[i].area;
return res;
}
// 检查两个矩形是否重叠
bool check2(int x, int y)
{
if (sf[x].x_min > sf[y].x_max || sf[x].x_max < sf[y].x_min ||
sf[x].y_min > sf[y].y_max || sf[x].y_max < sf[y].y_min)
return false;
return true;
}
// 检查所有矩形是否都不重叠
bool check()
{
for (int i = 1; i < k; i++)
{
for (int j = i + 1; j <= k; j++)
{
if (sf[i].flag == false || sf[j].flag == false)
continue;
if (check2(i, j))
return false;
}
}
return true;
}
// 将点加入指定矩形
void addPoint(int x, int y)
{
if (sf[x].flag == false) // 如果矩形未初始化
{
sf[x].x_max = sf[x].x_min = a[y];
sf[x].y_max = sf[x].y_min = b[y];
sf[x].flag = true;
sf[x].idx = x;
}
else // 如果矩形已存在
{
sf[x].x_max = max(sf[x].x_max, a[y]);
sf[x].x_min = min(sf[x].x_min, a[y]);
sf[x].y_max = max(sf[x].y_max, b[y]);
sf[x].y_min = min(sf[x].y_min, b[y]);
sf[x].area = (sf[x].x_max - sf[x].x_min) * (sf[x].y_max - sf[x].y_min);
}
return;
}
// 深度优先搜索
void dfs(int x)
{
int s = getArea();
if (s >= ans) // 剪枝：如果当前面积已经大于已知最小面积
return;
if (x == n) // 所有点都已处理
{
if (check()) // 检查矩形是否都不重叠
ans = s; // 更新最小面积
return;
}
// 尝试将下一个点加入各个矩形
for (int i = 1; i <= k; i++)
{
Square tmp = sf[i]; // 保存当前矩形状态
addPoint(i, x + 1); // 将点加入矩形
dfs(x + 1); // 递归处理下一个点
sf[i] = tmp; // 恢复矩形状态
}
}
int main()
{
cin >> n >> k;
for (int i = 1; i <= n; i++)
cin >> a[i] >> b[i]; // 输入每个点的坐标
dfs(0); // 从第0个点开始搜索
cout << ans << endl; // 输出最小总面积
return 0;
}
【运行结果】
4 2
1 1
2 2
3 6
0 7
4
浙公网安备 33010602011771号