题解：洛谷 B4071 武器强化

【题目来源】

洛谷：B4071 [GESP202412 五级] 武器强化 - 洛谷

【题目描述】

小杨有 $n$ 种武器和 $m$ 种强化材料。第 $i$ 种强化材料会适配第 $p_i$ 种武器，小杨可以花费 $c_i$ 金币将该材料对应的适配武器修改为任意武器。

小杨最喜欢第 $1$ 种武器，因此他希望适配该武器的强化材料种类数严格大于其他的武器，请你帮小杨计算为了满足该条件最少需要花费多少金币。

【输入】

小杨最喜欢第 $1$ 种武器，因此他希望适配该武器的强化材料种类数严格大于其他的武器，请你帮小杨计算为了满足该条件最少需要花费多少金币。

【输出】

输出一个整数，代表能够使适配第 $1$ 种武器的强化材料种类数严格大于其他的武器最少需要花费的金币。

【输入样例】

【输出样例】

【核心思想】

问题分析：给定 $n$ 种武器、$m$ 种强化材料，第 $i$ 种材料适配武器 $p_i$，修改花费 $c_i$。目标是让武器 $1$ 的适配材料数严格大于其他所有武器，求最小花费。这是一个枚举目标票数 + 贪心选取问题，关键在于枚举武器 $1$ 的目标票数 $x$，然后贪心地将其他武器的材料"压制"到 $< x$。
算法选择：
- 枚举目标票数 $x$：武器 $1$ 最终需要有 $x$ 票（$x \geq \max(a[1].size(), 1)$ 且 $x \leq m$）
- 贪心压制策略：对每个其他武器 $i$，若其当前票数 $\geq x$，必须拿走至少 a[i].size() - x + 1 张票（使其票数 $\leq x-1$），优先拿走花费最小的票
- 补票策略：若压制后武器 $1$ 的票数仍不足 $x$，从所有剩余可购买的票中选花费最小的补足
关键步骤：
- 读入与排序：读入 $n, m$ 和 $m$ 对 $(p_i, c_i)$，按武器分类存入 a[p]，并对每个 a[i] 按花费升序排序
- 枚举 $x$（从 max(a[1].size(), 1) 到 $m$）：
  - cnt = x - a[1].size()：武器 $1$ 还需要获得的票数
  - res = 0：当前总花费
  - 压制其他武器（$i$ 从 $2$ 到 $n$）：
    - sz = max(0, a[i].size() - x + 1)：需要从武器 $i$ 拿走的最少票数
    - 拿走 a[i] 中最便宜的 sz 张：res += sum(a[i][0..sz-1])，cnt -= sz
    - 若 res >= ans 提前剪枝返回
    - 将 a[i] 中剩余的票加入 temp（可选购买列表）
  - 补票：若 cnt > 0，将 temp 排序，取最便宜的 cnt 张
  - ans = min(ans, res)
- 输出 ans
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：$O(m \log m + n \cdot m \log m)$，排序 $O(m \log m)$，枚举 $x$ 最多 $m$ 次，每次处理 $O(n + m \log m)$
- 空间复杂度：$O(m)$，存储所有材料花费
枚举 + 贪心压制的核心思想：
- 严格大于的转化：武器 $1$ 票数 $> $ 武器 $i$ 票数 $\Leftrightarrow$ 武器 $i$ 票数 $\leq x-1$，其中 $x$ 为武器 $1$ 的目标票数
- 最小压制成本：对每个其他武器，使其票数 $\leq x-1$ 的最小成本是拿走其最便宜的 size - (x-1) 张票
- 补票的池化：压制过程中未拿走的票和武器 $1$ 原有的票构成"可购买池"，从中选最便宜的补足差额
- 枚举保证最优：$x$ 的取值范围有限（最多 $m$ 种），枚举所有可能并取最小值保证全局最优
- 适用于"使某元素严格最大化的最小代价"问题，核心在于枚举目标值 + 贪心压制其他元素

【算法标签】

普及 #贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1005;

int n, m, p, c, ans = 1e18;
vector<int> a[N];

// 计算让1号孩子获得x票的最小花费
int f(int x) {
    int cnt = x - a[1].size(); // 需要从其他孩子那里获取的票数
    vector<int> temp; // 存储可以购买的武器
    int res = 0; // 总花费

    // 处理其他孩子
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (a[i].empty()) continue;

        // 计算需要从这个孩子拿走多少武器
        int sz = max(0LL, (long long)(a[i].size() - x + 1));

        // 拿走最便宜的sz个武器
        for (int j = 0; j < sz; j++) {
            res += a[i][j];
            cnt--;
        }

        // 如果已经超过当前最优解，提前返回
        if (res >= ans) return ans;

        // 剩余的武器加入可选列表
        for (int j = sz; j < a[i].size(); j++) {
            temp.push_back(a[i][j]);
        }
    }

    // 如果还需要更多票，从剩余的武器中选择最便宜的
    if (cnt > 0) {
        sort(temp.begin(), temp.end());
        for (int i = 0; i < cnt && i < temp.size(); i++) {
            res += temp[i];
        }
    }

    return res;
}

signed main() {
    cin >> n >> m;

    // 读入数据并排序
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        cin >> p >> c;
        a[p].push_back(c);
    }

    // 对每个孩子的武器按价格排序
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sort(a[i].begin(), a[i].end());
    }

    // 尝试让1号孩子获得从当前票数到总票数的各种可能
    int min_votes = max((long long)a[1].size(), 1LL);
    for (int i = min_votes; i <= m; i++) {
        ans = min(ans, f(i));
    }

    cout << ans << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

posted @ 2026-08-10 12:24 团爸讲算法阅读(30) 评论(0) 收藏举报

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