徐老师的团队活动

【题目来源】

瑞学堂：徐老师的团队活动

【题目描述】

徐老师最近准备给同学们组织团队活动——猫捉老鼠，但是选多少人当猫，选哪些人成了问题

每个同学的体力，热衷程度均不同，有的人希望当猫去抓人，有的人希望自己团队的人数多一些...

于是徐老师统计了每个人的如果被选作当老鼠逃跑时，他希望的团队人数 \(a_i\)

如果第 \(i\) 位同学被选中当老鼠，那么他希望老鼠团队的人数是超过 \(a_i\) 的（这样自己不容易被抓）
如果第 \(i\) 位同学被选中当猫，那么他希望老鼠团队的人数是少于 \(a_i\) 的（这样作为猫的一方自己更容易获得胜利）

现在徐老师想知道，有多少选择方案可以满足每个同学的希望呢（每个人必须要么是老鼠要么是猫）？

P.S. 这里注意，允许所有同学都当老鼠或者都当猫，此时可以由许老师来担任另一个身份（并且许老师不算在团队人数内）

【输入】

输入第一行包含一个整数 \(n\) 表示一共有多少同学
输入第二行包含 \(n\) 个整数，分别表示第 \(i\) 个人的希望团队人数 \(a_i\)

【输出】

输出一个整数表示有多少种选择方案

【输入样例】

4
0 3 3 2

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 位同学，每人有一个希望值 \(a_i\)。若选为老鼠，要求老鼠团队人数 \(x > a_i\)；若选为猫，要求老鼠团队人数 \(x < a_i\)。求所有满足每个人希望的选择方案数。这是一个排序后枚举 + 贪心验证问题，关键在于发现：最优策略是将 \(a_i\) 排序后，选择前 \(x\) 小的人当老鼠，后 \(n-x\) 大的人当猫，只需验证边界条件。

2. 算法选择：

   • 排序（Sort）：将 \(a_i\) 从小到大排序，使得"前 \(x\) 位当老鼠、后 \(n-x\) 位当猫"的贪心策略成立
   • 贪心策略：排序后，\(a_i\) 越小的人越适合当老鼠（因为老鼠要求 \(x > a_i\)，\(a_i\) 小更容易满足），\(a_i\) 越大的人越适合当猫
   • 枚举验证：枚举老鼠团队人数 \(x\) 从 \(0\) 到 \(n\)，利用排序后的单调性只需检查边界元素

3. 关键步骤：

   • 读取与排序：读入 \(n\) 和数组 \(a[1..n]\)，将 \(a\) 从小到大排序
   • 枚举 \(x\)（老鼠团队人数，从 \(0\) 到 \(n\)）：
     • 边界情况：\(x = 0\)（全猫），检查 \(a_1 > 0\)；\(x = n\)（全鼠），检查 \(a_n < n\)
     • 一般情况（\(0 < x < n\)）：
       • 前 \(x\) 位（老鼠）：最大希望值为 \(a_x\)，需满足 \(a_x < x\)（老鼠人数超过其希望）
       • 后 \(n-x\) 位（猫）：最小希望值为 \(a_{x+1}\)，需满足 \(a_{x+1} > x\)（老鼠人数少于其希望）
       • 即验证：a[x] < x && a[x+1] > x
   • 统计答案：满足条件的 \(x\) 个数即为方案数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \log n)\)，排序 \(O(n \log n)\)，枚举验证 \(O(n)\)
   • 空间复杂度：\(O(n)\)，存储数组 \(a\)

5. 贪心 + 排序的核心思想：

   • 排序创造单调性：排序后，前 \(x\) 位必然是最"容易满足当老鼠条件"的人（\(a_i\) 小），后 \(n-x\) 位是最"容易满足当猫条件"的人（\(a_i\) 大），贪心选择最优
   • 边界压缩验证：排序后只需检查分界处的两个元素 \(a_x\) 和 \(a_{x+1}\)，无需遍历所有人，利用单调性将 \(O(n)\) 验证降为 \(O(1)\)
   • 枚举与贪心的结合：枚举所有可能的团队人数 \(x\)，但利用排序后的结构使每次验证极高效
   • 全选边界处理：\(x=0\) 和 \(x=n\) 时分别只需检查最值，体现贪心策略的完备性
   • 适用于"将集合划分为两部分，每部分有独立约束，且约束具有单调性"的划分计数问题

【算法标签】

贪心

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;    // 定义数组最大容量为100005
int n, ans;              // n为同学数量，ans记录满足条件的选择方案数
int a[N];                // a[i]表示第i位同学希望的团队人数

// 检查选择x位同学当老鼠、n-x位同学当猫是否满足所有人的希望
// 策略：将a数组排序后，选择前x位同学当老鼠（希望团队人数>a_i，即a_i<x），后n-x位当猫（希望团队人数<a_i，即a_i>x）
bool check(int x)
{
    if (x == 0)          // 所有同学都当猫（老鼠团队人数为0）
    {
        return a[1] > 0;  // 所有人都希望老鼠团队人数<a_i，即a_i>0，只需检查最小的a[1]
    }
    else if (x == n)     // 所有同学都当老鼠（老鼠团队人数为n）
    {
        return a[n] < n;  // 所有人都希望老鼠团队人数>a_i，即a_i<n，只需检查最大的a[n]
    }
    else                 // x位同学当老鼠，n-x位同学当猫
    {
        // 前x位当老鼠：需要a_i < x（老鼠团队人数x > a_i）
        // 后n-x位当猫：需要a_i > x（老鼠团队人数x < a_i）
        // 排序后只需检查边界：第x位（最大的老鼠）和第x+1位（最小的猫）
        return (a[x] < x) && (a[x + 1] > x);
    }
}

int main()
{
    cin >> n;            // 读入同学数量n
    for (int i = 1; i <= n; i++)  // 读入每位同学希望的团队人数
        cin >> a[i];
    sort(a + 1, a + n + 1);  // 将希望人数从小到大排序，便于二分/枚举边界

    // 枚举老鼠团队人数x从0到n，检查每种方案是否可行
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        if (check(i))    // 如果x位老鼠的方案满足所有人的希望
            ans++;       // 方案数加1
    }
    cout << ans << endl;  // 输出满足条件的选择方案总数
    return 0;
}

【运行结果】

4
0 3 3 2
2