题解：洛谷 P5723 质数口袋

【题目来源】

洛谷：P5723 【深基4.例13】质数口袋 - 洛谷

【题目描述】

小 A 有一个质数口袋，里面可以装各个质数。他从 \(2\) 开始，依次判断各个自然数是不是质数，如果是质数就会把这个数字装入口袋。

口袋的负载量就是口袋里的所有数字之和。

但是口袋的承重量有限，装的质数的和不能超过 \(L\)。给出 \(L\)，请问口袋里能装下几个质数？将这些质数从小往大输出，然后输出最多能装下的质数的个数，数字之间用换行隔开。

【输入】

一行一个正整数 \(L\)。

【输出】

将这些质数从小往大输出，然后输出最多能装下的质数个数，所有数字之间有一空行。

【输入样例】

100

【输出样例】

2
3
5
7
11
13
17
19
23
9

【核心思想】

1. 问题分析：给定容量上限 \(L\)，从 \(2\) 开始依次判断自然数是否为质数，将质数装入"口袋"（累加和），直到下一个质数会使总和超过 \(L\) 时停止。输出所有装入的质数和质数个数。

2. 算法选择：

   • 试除法判质：对每个数 \(i\)，用 \(2 \sim i-1\) 试除判断是否为质数
   • 贪心装入：按从小到大顺序，能装就装，直到超出容量

3. 关键步骤：

   • 读入数据：cin >> l
   • 初始化：sum = 0（质数个数），tot = 0（质数和）
   • 遍历自然数（\(i\) 从 \(2\) 开始，条件 tot + i <= l）：
     • 判质：mark = 0，内层 \(j\) 从 \(2\) 到 \(i-1\)，若 i % j == 0 则 mark = 1（非质数）
     • 若 mark == 0（是质数）：
       • 若 i + tot <= l：输出 \(i\)，tot += i，sum++
       • 否则 break（超出容量）
   • 输出个数：sum

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(m^2)\)，\(m\) 为装入的质数个数，每个质数判断需 \(O(i)\) 次试除
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，无需存储所有质数，边判边输出

5. 贪心装入的核心思想：

   • 从小到大顺序：从 2 开始依次尝试，保证质数按升序输出
   • 即时输出：判定为质数且能装入时立即输出，无需存储
   • 容量预判：外层循环条件 tot + i <= l 提前终止不可能的情况
   • 试除法简单性：数据范围小，试除法足够高效，无需埃氏筛或线性筛
   • 适用于质数判定、贪心选择、容量限制类入门问题

【算法标签】

普及- #质数

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

/**
 * 主函数 - 程序入口
 * @return 程序执行状态码（0表示成功）
 */
int main()
{
    int l;               // 定义变量：质数口袋的最大容量
    int sum = 0;         // 定义变量：质数口袋中质数的个数
    int tot = 0;         // 定义变量：质数口袋中质数的总和

    cin >> l;            // 输入质数口袋的容量

    // 遍历从2开始的整数，寻找质数
    for (int i = 2; tot + i <= l; i++)
    {
        // 判断当前数i是否为质数
        int mark = 0;    // 标记是否为质数（0表示是质数）
        for (int j = 2; j < i; j++)
        {
            if (i % j == 0)
            {
                mark = 1; // 发现能整除的数，不是质数
                break;
            }
        }

        // 如果是质数
        if (mark == 0)
        {
            // 检查是否能放入质数口袋
            if (i + tot <= l)
            {
                cout << i << endl;  // 输出当前质数
                tot += i;           // 更新质数总和
                sum++;               // 更新质数个数
            }
            else
            {
                break;              // 超过容量，终止循环
            }
        }
    }

    // 输出质数口袋中质数的总个数
    cout << sum;

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

100
2
3
5
7
11
13
17
19
23
9