题解：洛谷 P5720 一尺之棰

【题目来源】

洛谷：P5720 【深基4.例4】一尺之棰 - 洛谷

【题目描述】

《庄子》中说到，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。第一天有一根长度为 \(a\) 的木棍，从第二天开始，每天都要将这根木棍锯掉一半（每次除 \(2\)，向下取整）。第几天的时候木棍的长度会变为 \(1\)？

【输入】

输入一个正整数 \(a\)，表示木棍长度。

【输出】

输出一个正整数，表示要第几天的时候木棍长度会变为 \(1\)。

【输入样例】

100

【输出样例】

7

【核心思想】

1. 问题分析：给定初始木棍长度 \(a\)，每天将其锯掉一半（整数除法，向下取整），求第几天长度变为 \(1\)。这是一个模拟折半过程的问题。

2. 算法选择：

   • 循环折半模拟：每天执行 \(a = a / 2\)（整数除法），同时天数计数器累加，直到 \(a = 1\)

3. 关键步骤：

   • 读入数据：cin >> a
   • 初始化：day = 1（第一天已有长度 \(a\)）
   • 循环折半（当 a != 1）：
     • a /= 2：长度减半（整数除法自动向下取整）
     • day++：天数加 1
   • 输出结果：day

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log a)\)，每次循环 \(a\) 减半，最多循环 \(\log_2 a\) 次
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需两个变量

5. 折半模拟的核心思想：

   • 整数除法特性：C++ 中 a /= 2 对整数自动向下取整，恰好符合"锯掉一半"的要求
   • 天数计数：从第 1 天开始计数，每次折半后进入下一天，确保最终天数包含达到 1 的那一天
   • 对数级效率：\(a\) 每次减半，循环次数与 \(a\) 的大小成对数关系，效率极高
   • 适用于折半递推、对数级模拟、过程追踪类入门问题

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
using namespace std;      // 使用标准命名空间

/**
 * 主函数 - 程序入口
 * @return 程序执行状态码（0表示成功）
 */
int main()
{
    int a;               // 定义变量：初始a
    int day = 1;         // 定义变量：天数计数器，初始为1

    cin >> a;            // 输入初始

    // 模拟细胞分裂过程（每天数量减半）
    while (a != 1)       // 当数量不为1时继续循环
    {
        a /= 2;          // 数量减半（整数除法）
        day++;           // 天数加1
    }

    cout << day;         // 输出总天数

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

100
7