题解：洛谷 P2669 金币

【题目来源】

洛谷：P2669 [NOIP 2015 普及组] 金币 - 洛谷

【题目描述】

国王将金币作为工资，发放给忠诚的骑士。第一天，骑士收到一枚金币；之后两天（第二天和第三天），每天收到两枚金币；之后三天（第四、五、六天），每天收到三枚金币；之后四天（第七、八、九、十天），每天收到四枚金币……；这种工资发放模式会一直这样延续下去：当连续 nn 天每天收到 nn 枚金币后，骑士会在之后的连续 \(n+1\) 天里，每天收到 \(n+1\) 枚金币。

请计算在前 \(k\) 天里，骑士一共获得了多少金币。

【输入】

一个正整数 \(k\)，表示发放金币的天数。

【输出】

一个正整数，即骑士收到的金币数。

【输入样例】

6

【输出样例】

14

【核心思想】

1. 问题分析：给定天数 \(k\)，工资发放模式为：第1天发1枚，接下来2天每天发2枚，接下来3天每天发3枚，以此类推。求前 \(k\) 天累计获得的金币总数。这是一个双重循环模拟问题。

2. 算法选择：

   • 外层枚举周期：\(i\) 表示当前周期每天发放 \(i\) 枚金币，持续 \(i\) 天
   • 内层枚举天数：\(j\) 从 \(1\) 到 \(i\)，每天累加 \(i\) 枚金币
   • 提前终止：当累计天数 day == k 时立即输出结果并结束程序

3. 关键步骤：

   • 读入数据：cin >> k
   • 初始化：day = 0, ans = 0
   • 外层循环（\(i\) 从 \(1\) 到 \(10000\)）：枚举每个发放周期
     • 内层循环（\(j\) 从 \(1\) 到 \(i\)）：枚举周期内的每一天
       • ans += i：每天增加 \(i\) 枚金币
       • day++：累计天数加1
       • 若 day == k：输出 ans 并 return 0
   • 输出结果：前 \(k\) 天累计金币数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\sqrt{k})\)，因 \(1+2+\cdots+n \approx \frac{n^2}{2}\)，达到 \(k\) 天需要约 \(\sqrt{2k}\) 个周期
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数个变量

5. 周期模拟的核心思想：

   • 嵌套周期结构：外层控制每天发放的金币数 \(i\)，内层控制该金币数持续的天数 \(i\)，形成"第 \(i\) 个周期持续 \(i\) 天、每天 \(i\) 枚"的模式
   • 即时终止优化：无需预先计算完整周期，达到 \(k\) 天立即停止，避免多余计算
   • 累加而非乘积：不直接用公式 \(i \times i\)，而是逐天累加，便于在任意天终止
   • 适用于周期累加、嵌套循环模拟、提前终止类入门问题

【算法标签】

入门 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int k, day, ans;
int main()
{
	cin >> k;  //输入k
	for (int i=1; i<=10000; i++) {  // 枚举“之后i天”，如“之后2天”，“之后3天”
	    for (int j=1; j<=i; j++) {  // 枚举i天
	        ans += i;  // 每天金币数增加i
	        day++;  // 第day天
	        if (day==k) {  // 如果达到第k天，输出结果，并结束程序
	            cout << ans << endl;
	            return 0;
	        }
	    }
	}
	return 0;
}

【运行结果】

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