题解：洛谷 P1980 计数问题

【题目来源】

洛谷：P1980 [NOIP 2013 普及组] 计数问题 - 洛谷

【题目描述】

试计算在区间 \(1\) 到 \(n\) 的所有整数中，数字 \(x(0\le x\le 9)\) 共出现了多少次？例如，在 \(1\) 到 $11 $ 中，即在 \(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\) 中，数字 $1 $ 出现了 \(4\) 次。

【输入】

\(2\) 个整数 \(n,x\)，之间用一个空格隔开。

【输出】

\(1\) 个整数，表示 \(x\) 出现的次数。

【输入样例】

11 1

【输出样例】

4

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 和数字 \(x\)，统计在 \(1 \sim n\) 的所有整数中，数字 \(x\) 出现的总次数。这是一个数位拆分 + 桶统计问题。

2. 算法选择：

   • 逐数拆分：遍历 \(1 \sim n\)，对每个数进行数位拆分
   • 桶数组计数：用 a[0..9] 记录每个数字出现的次数，最后输出 a[x]

3. 关键步骤：

   • 读入数据：cin >> n >> x
   • 初始化：a[0..9] = {0}
   • 遍历统计（\(i\) 从 \(1\) 到 \(n\)）：
     • 调用 calc(i) 拆分数字 \(i\) 的每一位
   • 拆分函数 calc(x)：
     • 当 x > 0 时循环：
       • a[x % 10]++：对最低位数字计数
       • x /= 10：去掉最低位
   • 输出结果：a[x]

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n \cdot \log_{10} n)\)，遍历 \(n\) 个数，每个数拆分 \(O(\log n)\) 次
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需大小为 10 的桶数组

5. 数位统计的核心思想：

   • 逐位剥离：x % 10 取最低位，x /= 10 右移一位，循环直至数为 0
   • 桶数组聚合：不关心数字出现在哪个数中，只关心每个数字的总出现次数
   • 范围覆盖：遍历 \(1 \sim n\) 确保所有数字都被统计，无遗漏
   • 适用于数位统计、频率统计、桶计数类入门问题

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, x;
int a[15];  //定义a数组，保存0-9数字的出现次数
void calc(int x)
{
    while (x>0) {  //进行数位拆分，对x每位上的数进行计数
        a[x%10]++;
        x /= 10;
    }
}
int main()
{
    cin >> n >> x;  // 输入n和x
    for (int i=1; i<=n; i++) {  //从1遍历至n
        calc(i);  //对每个数进行统计
    }
    cout << a[x] << endl;  //输出数字x出现的次数
    return 0;
}

【运行结果】

11 1
4