题解：洛谷 P1888 三角函数

【题目来源】

洛谷：P1888 三角函数 - 洛谷

【题目描述】

输入一组勾股数 \(a,b,c(a\neq b\neq c)\)，用分数格式输出其较小锐角的正弦值。（要求约分。）

【输入】

一行，包含三个正整数，即勾股数 \(a,b,c\)（无大小顺序）。

【输出】

一行，包含一个分数，即较小锐角的正弦值

【输入样例】

3 5 4

【输出样例】

3/5

【核心思想】

1. 问题分析：给定一组勾股数 \(a, b, c\)（无大小顺序），要求输出较小锐角的正弦值（约分后的最简分数）。在直角三角形中，较小锐角对应较短的直角边，其正弦值 = 对边（最短直角边）/ 斜边（最长边，即 \(c\)）。

2. 算法选择：

   • 排序确定边：将三数排序后，\(a[0]\) 为最短直角边（较小锐角的对边），\(a[2]\) 为斜边
   • 欧几里得算法求 GCD：计算分子分母的最大公约数进行约分

3. 关键步骤：

   • 读入数据：cin >> a[0] >> a[1] >> a[2]
   • 排序：sort(a, a + 3) 升序排列，使 \(a[0] \le a[1] \le a[2]\)
   • 确定正弦值：较小锐角的正弦 = \(\frac{a[0]}{a[2]}\)（最短边 / 最长边）
   • 约分输出：
     • \(g = \gcd(a[0], a[2])\)
     • 输出 a[0]/g << "/" << a[2]/g

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(\log(\max(a)))\)，主要由 GCD 计算决定，排序为 \(O(1)\)（固定3个数）
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数个变量

5. 勾股数性质的核心思想：

   • 排序定位边：排序后最小数为一条直角边，最大数为斜边（勾股数中斜边最大）
   • 较小锐角判定：直角三角形中，较小锐角的对边较短，因此正弦值 = 最短直角边 / 斜边
   • 最简分数：通过 GCD 约分，保证输出符合题目要求
   • 欧几里得算法：递归实现 \(\gcd(a, b) = \gcd(b, a \bmod b)\)，高效求最大公约数
   • 适用于几何计算、分数约分、排序定位类入门问题

【算法标签】

入门 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
#include <algorithm>     // 包含算法库（使用sort函数）
using namespace std;     // 使用标准命名空间

/**
 * 计算两个数的最大公约数（GCD）
 * @param a 第一个整数
 * @param b 第二个整数
 * @return 最大公约数
 */
int gcd(int a, int b)
{
    return 0 == b ? a : gcd(b, a % b);  // 欧几里得算法递归实现
}

/**
 * 主函数 - 程序入口
 * @return 程序执行状态码（0表示成功）
 */
int main()
{
    int a[3];           // 定义包含3个整数的数组

    cin >> a[0] >> a[1] >> a[2];  // 输入三个整数

    sort(a, a + 3);     // 对数组进行升序排序

    // 输出最简分数形式（最小数/最大数）
    // 通过除以最大公约数进行约分
    cout << a[0] / gcd(a[0], a[2]) << "/" << a[2] / gcd(a[0], a[2]);

    return 0;           // 程序正常结束
}

【运行结果】

3 5 4
3/5