题解：洛谷 P1720 月落乌啼算钱

【题目来源】

洛谷：P1720 月落乌啼算钱（斐波那契数列） - 洛谷

【题目描述】

算完钱后，月落乌啼想着：“你 TMD 坑我，（以下用闽南语读）归粒靠杯靠亩诶，（以下用英读）是伊特游！”于是当爱与愁大神问多少钱时，月落乌啼说了一堆乱码。爱与愁大神说：“算了算了，我只问第 \(n\) 样菜价格多少？”月落乌啼写出了：

由于爱与愁大神学过编程，于是就用 \(1\) 分钟的时间求出了 \(F_n\) 的结果。月落乌啼为此大吃一惊。你能学学爱与愁大神求出 $F_n $ 的值吗？

【输入】

一行一个自然数 \(n\)。

【输出】

只有 \(1\) 行一个实数 \(F_n\)，保留两位小数。

【输入样例】

6

【输出样例】

8.00

【核心思想】

1. 问题分析：求斐波那契数列第 \(n\) 项的值，要求保留两位小数。题目给出的公式为比内公式（Binet's Formula）：\(F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]\)。

2. 算法选择：

   • 比内公式直接计算：利用黄金分割比例 \(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 及其共轭 \(\hat{\phi} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}\)，直接代入公式计算第 \(n\) 项

3. 关键步骤：

   • 读入数据：cin >> n
   • 预计算常量：
     • t = sqrt(5)
     • a = (1 + t) / 2：黄金分割比例 \(\phi \approx 1.618\)
     • `b = (1 - t) / 2$：共轭比例 \(\hat{\phi} \approx -0.618\)
   • 代入比内公式：
     • f = (pow(a, n) - pow(b, n)) / t
   • 格式化输出：printf("%.2f", f) 保留两位小数

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(1)\)，固定次数的数学运算
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数个变量

5. 闭式解的核心思想：

   • 比内公式：斐波那契数列的通项公式，将递推问题转化为直接的幂运算
   • 黄金分割比例：\(\phi^n\) 主导增长，\(\hat{\phi}^n\) 因 \(|\hat{\phi}| < 1\) 而迅速衰减，两者之差除以 \(\sqrt{5}\) 恰好得到整数
   • 浮点精度：由于浮点数精度限制，当 \(n\) 较大时结果可能有微小误差，但题目范围内可接受
   • 适用于递推数列闭式解、黄金分割、数学公式实现类入门问题

【算法标签】

入门 #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件（万能头文件）
#include <math.h>        // 包含数学函数库（使用sqrt和pow函数）
using namespace std;     // 使用标准命名空间

/**
 * 主函数 - 程序入口
 * @return 程序执行状态码（0表示成功）
 */
int main()
{
    int n;               // 定义变量：斐波那契数列的项数n
    double t = sqrt(5);  // 定义变量：√5的值
    double f;            // 定义变量：存储计算结果

    cin >> n;            // 输入要计算的斐波那契数列项数

    // 计算黄金分割比例和其共轭数
    double a = (1 + t) / 2;  // 黄金分割比例 (1+√5)/2
    double b = (1 - t) / 2;  // 共轭比例 (1-√5)/2

    // 使用Binet公式计算第n项斐波那契数
    f = (pow(a, n) - pow(b, n)) / t;

    // 输出结果，保留两位小数
    printf("%.2f", f);

    return 0;            // 程序正常结束
}

【运行结果】

6
8.00