题解：洛谷 P1214 等差数列

【题目来源】

洛谷：P1214 [USACO1.4] 等差数列 Arithmetic Progressions

【题目描述】

一个等差数列是一个能表示成 \(a, a+b, a+2b, \dots ,a+nb\space (n \in \mathbb N)\) 的数列。

在这个问题中 \(a\) 是一个非负的整数，\(b\) 是正整数。
写一个程序来找出在双平方数集合：

\[\{ x | x = p^2 + q^2 \wedge p,q \in \mathbb N \cap [0,m]\} \]

中长度为 \(n\) 的等差数列。

【输入】

第一行一个正整数 \(n\)，表示要找的数列长度。
第二行一个非负整数 \(m\)，表示 \(p,q\) 的上界。

【输出】

如果没有找到数列，输出 NONE。

如果找到了，输出一行或多行，每行由二个整数组成：\(a,b\)。

这些行应该以 \(b\) 为第一关键字，\(a\) 为第二关键字升序排序。

所求的等差数列将不会多于 \(10,000\) 个。

【输入样例】

5
7

【输出样例】

1 4
37 4
2 8
29 8
1 12
5 12
13 12
17 12
5 20
2 24

【核心思想】

1. 问题分析：给定 \(n\) 和 \(m\)，在双平方数集合 \(S = \{p^2 + q^2 \mid 0 \le p, q \le m\}\) 中找出所有长度为 \(n\) 的等差数列 \(a, a+b, a+2b, \ldots, a+(n-1)b\)。要求输出按 \(b\) 为第一关键字、\(a\) 为第二关键字升序排列。

2. 算法选择：

   • 筛法标记双平方数：用布尔数组 \(f\) 标记所有 \(p^2 + q^2\)（\(0 \le p, q \le m\)）
   • 提取有序集合：将所有双平方数按升序存入数组 \(num\)
   • 枚举公差和首项：外层枚举公差 \(b\)，中层枚举首项 \(a\)，内层验证连续 \(n\) 项是否均为双平方数

3. 关键步骤：

   • 读入：\(n\)（数列长度）、\(m\)（\(p, q\) 上界）
   • 生成双平方数：
     • 双重循环枚举 \(p, q \in [0, m]\)，标记 \(f[p^2 + q^2] = 1\)
   • 提取有序数组：
     • 遍历 \(i\) 从 \(0\) 到 \(N\)，若 \(f[i] = 1\) 则 num[++cur] = i
   • 枚举等差数列：
     • 外层 \(b\) 从 \(1\) 到 num[cur]（最大双平方数）
     • 中层 \(a\) 从 num[1] 到 num[cur-1]：
       • 剪枝：若 \(a + (n-1) \cdot b > \text{max\_num}\)，后续更大的 \(a\) 也不可能，直接 break
       • 内层验证 \(k\) 从 \(2\) 到 \(n\)：检查 \(a + (k-1) \cdot b\) 是否为双平方数
       • 若全部 \(n\) 项均为双平方数：输出 \(a\) 和 \(b\)，标记 flag = true
   • 输出：若 flag == false 输出 NONE

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(m^2 + \text{max\_num} \cdot |S| \cdot n)\)，筛法 \(O(m^2)\)，枚举验证部分取决于双平方数密度
   • 空间复杂度：\(O(N)\)，\(N = 2m^2 + 5\)，布尔标记数组和存储数组

5. 枚举验证的核心思想：

   • 筛法预处理：将"是否为双平方数"的判定预处理为 \(O(1)\) 查询，避免每次计算平方和
   • 有序集合枚举：提取有序数组后，按 \(b\) 和 \(a\) 的顺序自然满足输出排序要求
   • 剪枝优化：利用 \(a + (n-1)b \le \text{max\_num}\) 提前终止不可能的首项枚举
   • 验证而非构造：不直接构造等差数列，而是枚举参数后验证每项的 membership
   • 适用于数论集合查询、等差数列枚举、筛法预处理类问题

【算法标签】

普及- #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 250 * 250 * 2 + 5;  // 定义数组最大容量：m最大250，p²+q²最大为250²+250²=125000
int n, m;                         // n为要找的等差数列长度，m为p和q的上界
int f[N], cur, k;                 // f[i]标记i是否为双平方数；cur记录双平方数的个数；k用于循环计数
int num[N];                       // num数组存储所有双平方数（有序）
bool flag;                        // flag标记是否找到至少一个等差数列

int main()
{
    cin >> n >> m;                // 读入数列长度n和p,q的上界m
    // 第一步：生成所有双平方数（p²+q²，其中0≤p,q≤m）
    for (int i = 0; i <= m; i++)  // 枚举p
        for (int j = 0; j <= m; j++)  // 枚举q
            f[i * i + j * j] = 1;     // 标记p²+q²为双平方数
    // 第二步：将所有双平方数按升序存入num数组
    for (int i = 0; i < N; i++)
        if (f[i])                   // 如果i是双平方数
            num[++cur] = i;         // 加入num数组，cur计数加1

    // 第三步：枚举所有可能的等差数列
    // 外层循环枚举公差i（b）
    for (int i = 1; i < num[cur]; i++)  // 公差i从1到最大双平方数
    {
        // 中层循环枚举首项num[j]（a）
        for (int j = 1; j < cur - 1; j++)  // 首项从第一个双平方数开始
        {
            // 剪枝：如果首项加上(n-1)倍公差超过最大双平方数，后续更大的首项也不可能，直接退出
            if (num[j] + (n - 1) * i > num[cur])
                break;
            // 内层循环验证从num[j]开始、公差为i的n项是否都是双平方数
            for (k = 2; k <= n; k++)  // 验证第2项到第n项
                if (!f[num[j] + (k - 1) * i])  // 如果某项不是双平方数
                    break;              // 验证失败，退出内层循环
            // 如果k达到n+1，说明所有n项都是双平方数，找到了一个合法等差数列
            if (k == n + 1 && f[num[j] + (n - 1) * i])
            {
                cout << num[j] << " " << i << endl;  // 输出首项a和公差b
                flag = true;           // 标记找到了等差数列
            }
        }
    }
    // 如果没有找到任何等差数列，输出NONE
    if (!flag)
        cout << "NONE" << endl;
    return 0;
}

【运行结果】

5
7
1 4
37 4
2 8
29 8
1 12
5 12
13 12
17 12
5 20
2 24