题解：洛谷 P1035 级数求和

【题目来源】

洛谷：P1035 [NOIP 2002 普及组] 级数求和 - 洛谷（luogu.com.cn)

【题目描述】

已知：\(S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\dots+\frac{1}{n}\)。显然对于任意一个整数 \(k\)，当 \(n\) 足够大的时候，\(S_n\gt k\)。

现给出一个整数 \(k\)，要求计算出一个最小的 \(n\)，使得 \(S_n\gt k\)。

【输入】

一个正整数 \(k\)。

【输出】

一个正整数 \(n\)。

【输入样例】

1

【输出样例】

2

【核心思想】

1. 问题分析：给定整数 \(k\)，求最小的 \(n\) 使得调和级数 \(S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} > k\)。调和级数发散但增长极慢，需逐项累加直至超过阈值。

2. 算法选择：

   • 逐项累加：从 \(n=1\) 开始，不断加上 \(\frac{1}{n}\)，直到累加和 \(s > k\)

3. 关键步骤：

   • 读入数据：cin >> k
   • 初始化：n = 1, s = 0.0
   • 循环累加（当 s <= k）：
     • s += 1.0 / n：加上当前项（注意 1.0 保证浮点除法）
     • n++：项数递增
   • 输出结果：n - 1（因循环结束时 \(n\) 已多自增一次）

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n)\)，\(n\) 为答案值，调和级数增长极慢（\(S_n \approx \ln n + \gamma\)），故 \(n \approx e^k\)
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数个变量

5. 级数累加的核心思想：

   • 浮点除法注意：1.0 / n 而非 1 / n，确保进行浮点除法而非整数除法（后者恒为 0）
   • 循环终止条件：s <= k 时继续，一旦 s > k 立即停止，保证 \(n\) 的最小性
   • 答案修正：循环内先累加后自增，退出时 \(n\) 比实际项数多 1，需减 1 修正
   • 调和级数性质：虽然发散，但增长极其缓慢（\(k=1\) 时 \(n=2\)，\(k=15\) 时 \(n\) 已超过百万）
   • 适用于级数求和、阈值搜索、浮点累加类入门问题

【算法标签】

入门 #数学

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>  // 包含标准库头文件
using namespace std;

int main()
{
    int n = 1, k;      // n: 当前项数，从1开始计数；k: 用户输入的阈值
    double s = 0;      // s: 调和级数的累加和

    cin >> k;          // 输入阈值k

    // 循环计算调和级数，直到和s超过阈值k
    while (s <= k)
	{
        s += 1.0 / n;  // 将当前项1/n加到总和s中
        n++;           // 移动到下一项
    }

    // 输出结果：n-1是因为循环结束时n已经自增了一次
    cout << n - 1;

    return 0;
}

【运行结果】

1
2