题解：洛谷 P2693 号码锁

【题目来源】

洛谷：P2693 [USACO1.3] 号码锁 Combination Lock - 洛谷

【题目描述】

农夫约翰的奶牛不停地从他的农场中逃出来，导致了很多损害。为了防止它们再逃出来，他买了一只很大的号码锁以防止奶牛们打开牧场的门。

农夫约翰知道他的奶牛很聪明，所以他希望确保它们不会在简单地试了很多不同的号码组合之后就能轻易开锁。锁上有三个转盘，每个上面有数字 1 ~ n，因为转盘是圆的，所以 1 和 n 是相邻的。有两种能开锁的号码组合，一种是农夫约翰设定的，还有一种“预设”号码组合是锁匠设定的。但是，锁有一定的容错性，所以，在每个转盘上的数字都与一个合法的号码组合中相应的数字相距两个位置以内时，锁也会打开。

比如说，如果农夫约翰的号码组合是（ 1 , 2 , 3 )，预设号码组合是（ 4 , 5 , 6 )，在转盘被设定为（ 1 , 4 , 5)（因为这和农夫约翰的号码组合足够接近）或（ 2 , 4 , 8 )（因为这和预设号码组合足够接近）时可以打开锁。注意，( 1 , 5 , 6 ）并不会打开锁，因为它与任一号码组合都不够接近。

给出农夫约翰的号码组合和预设号码组合，请计算能够开锁的不同的号码组合的数目。号码是有序的，所以（ 1 , 2 , 3 ）与（ 3 , 2 , 1 ）不同。

【输入】

输入的第一行是一个整数 n，代表锁上的数字个数。

输入的第二行有三个整数 x,y,z，代表农夫约翰的号码组合。

输入的第三行有三个整数 a,b,c，代表预设的号码组合。

【输出】

输出一行一个整数代表能够开锁的组合数目。

【输入样例】

50
1 2 3
5 6 7

【输出样例】

249

【核心思想】

1. 问题分析：给定三个转盘的数字范围 \([1, n]\)（环形相邻，1 和 \(n\) 相邻），以及两个合法号码组合 \((x, y, z)\) 和 \((a, b, c)\)。锁的容错规则为：每个转盘上的数字与任一合法组合中对应位置数字的环形距离 \(\leq 2\) 时，锁打开。求能开锁的不同号码组合数。

2. 算法选择：

   • 暴力枚举：由于 \(n \leq 100\)，三个转盘的三重循环枚举量最大为 \(10^6\)，完全可行
   • 环形距离计算：利用模运算处理环形结构，计算两个数字在环上的最短距离
   • 容斥思想：分别判断是否满足约翰的组合或预设的组合，满足任一即可（逻辑或）

3. 关键步骤：

   • 读入数据：\(n\)（数字个数）、约翰的组合 \((x, y, z)\)、预设组合 \((a, b, c)\)
   • 三重枚举：\(i, j, k\) 分别从 \(1\) 到 \(n\) 枚举三个转盘的数字
   • 环形距离判断（对单个转盘位置）：
     • 数字 \(p\) 与 \(q\) 的环形距离：\((p - q + n) \bmod n\) 或 \((q - p + n) \bmod n\)，取较小值
     • 条件：\((x - i + n) \bmod n \leq 2\) 或 \((i - x + n) \bmod n \leq 2\)，表示 \(i\) 与 \(x\) 的环形距离 \(\leq 2\)
   • 组合判断：
     • 满足约翰组合：三个转盘分别与 \((x, y, z)\) 的距离均 \(\leq 2\)（逻辑与）
     • 满足预设组合：三个转盘分别与 \((a, b, c)\) 的距离均 \(\leq 2\)（逻辑与）
     • 满足任一即可开锁（逻辑或）
   • 统计答案：满足条件的组合数 \(ans\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O(n^3)\)，三重循环枚举所有组合
   • 空间复杂度：\(O(1)\)，仅需常数级变量

5. 环形枚举的核心思想：

   • 模运算处理环形：\((p - q + n) \bmod n\) 消除了环形结构的边界问题，将 1 和 \(n\) 的相邻关系统一处理
   • 双向距离取小：两个方向 \((p-q+n)\%n\) 和 \((q-p+n)\%n\) 分别表示顺时针和逆时针距离，满足其一 \(\leq 2\) 即表示在容错范围内
   • 容斥简化：无需显式计算并集，直接用逻辑或判断"满足约翰或满足预设"即可
   • 小规模暴力可行：\(n \leq 100\) 时 \(n^3 = 10^6\)，在合理范围内，无需复杂优化
   • 适用于环形结构、小范围枚举、多条件容斥类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, x, y, z, a, b, c, ans=0;
int main()
{
    cin >> n;  // 输入n
    cin >> x >> y >> z;  // 输入约翰的号码组合
    cin >> a >> b >> c;  // 输入预设的号码组合
    for (int i=1; i<=n; i++) {  // 三个转盘使用三个for循环
        for (int j=1; j<=n; j++) {
            for (int k=1; k<=n; k++) {
                if (((x-i+n)%n<=2 || (i-x+n)%n<=2) && ((y-j+n)%n<=2 || (j-y+n)%n<=2) && ((z-k+n)%n<=2 || (k-z+n)%n<=2) || ((a-i+n)%n<=2 || (i-a+n)%n<=2) && ((b-j+n)%n<=2 || (j-b+n)%n<=2) && ((c-k+n)%n<=2 || (k-c+n)%n<=2)) {  // 满足转盘向上或向下后的移动次数需要小于等于2
                    ans++;  // 方案数自增1
                }
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;  // 输出结果
    return 0;
}

【运行结果】

50
1 2 3
5 6 7
249