题解：洛谷 P1467 循环数Runaround Numbers

【题目来源】

洛谷：P1467 [USACO2.2] 循环数 Runaround Numbers - 洛谷

【题目描述】

循环数是那些不包括 \(0\) 且没有重复数字的正整数（比如 \(81362\)），并且还应同时具有一个有趣的性质——

如果你从最左边的数字开始（在 \(\color{red}{8}\color{black}1362\) 中是 \(8\)）向右数这个数字对应的次数（如果数到了最右边就回到最左边；在 \(\color{red}{8}\color{black}1362\) 中是 \(8\) 次），你会停止在另一个新的数字（在 \(\color{red}{8}\color{black}1362\) 中是 \(\color{red}8\color{black}\to 1\to 3\to 6\to 2\to 8\to 1\to 3\to \color{red}6\)；如果停在一个相同的数字上，这个数就不是循环数）。

重复这样做，如果能在经过每个数位恰好一次后回到最左边，那么这个正整数就是循环数。

仍然以 \(81362\) 为例，以下模拟过程证明了 \(81362\) 是循环数：

\[\color{red}8\color{black}\to 1\to 3\to 6\to 2\to 8\to 1\to 3\to \color{red}6 \]

\[\color{red}6\color{black}\to 2\to 8\to 1\to 3\to 6\to \color{red}2 \]

\[\color{red}2\color{black}\to 8\to \color{red}1 \]

\[\color{red}1\color{black}\to \color{red}3 \]

\[\color{red}3\color{black}\to 6\to 2\to \color{red}8 \]

任务：

给你一个正整数 \(m\)，找出最小的比 \(m\) 大的循环数 \(m'\)。

数据保证 \(m' \le 2^{32}-1\)。

【输入】

仅仅一行, 包括 \(m\)。

【输出】

仅仅一行，输出最小的比 \(m\) 大的循环数 \(m'\)。

【输入样例】

81361

【输出样例】

81362

【核心思想】

1. 问题分析：给定正整数 \(m\)，要求找到最小的比 \(m\) 大的循环数。循环数的定义：不含 \(0\)、无重复数字的正整数，从最高位开始，按当前位数字值向右循环移动（到末尾回到开头），经过每个数位恰好一次后回到起始位置。

2. 算法选择：

   • 暴力枚举 + 模拟验证：从 \(m+1\) 开始逐个枚举，对每个数模拟循环数判定过程
   • 循环数判定函数：包含四个检查条件——不含 \(0\)、无重复数字、模拟移动经过所有位、最终回到起始位

3. 关键步骤：

   • 读入：\(m\)
   • 枚举：\(i\) 从 \(m+1\) 开始递增
   • 判定函数 find(n)：
     • 条件 1（不含 0）：将 \(n\) 转为字符串，若含 '0' 返回 false
     • 条件 2（无重复数字）：用桶数组 b[1..9] 统计各数字出现次数，若存在 \(>1\) 返回 false
     • 条件 3（模拟移动）：
       • 初始化 mark = 0（起始位置），a 数组标记访问状态
       • 循环 \(len\) 次（\(len\) 为数字位数）：
         • a[mark] = 1 标记当前位已访问
         • mark = (mark + (s[mark] - '0')) % len 计算下一个位置
       • 循环结束后检查：s[mark] == s[0]（回到起始位的数字）
       • 检查 a 数组是否全为 \(1\)（所有位均被访问恰好一次）
     • 全部满足返回 true
   • 输出：第一个满足 find(i) 的 \(i\)

4. 时间/空间复杂度：

   • 时间复杂度：\(O((m' - m) \cdot d)\)，\(d\) 为数字位数，实际循环数密度较高，枚举量不大
   • 空间复杂度：\(O(d)\)，字符串和标记数组

5. 模拟验证的核心思想：

   • 循环移动建模：用模运算 (mark + digit) % len 实现"到末尾回到开头"的循环效果
   • 访问完整性检查：a 数组确保每个位置被恰好访问一次，防止提前进入小循环
   • 回到起点验证：循环 \(len\) 次后必须停在起始位的数字上，保证路径闭合
   • 数字约束前置：先排除含 \(0\) 和重复数字的数，减少无效模拟
   • 适用于数字特性模拟、循环路径验证、暴力搜索类问题

【解题思路】

【算法标签】

普及- #模拟

【代码详解】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m, a[35], b[15];  // 定义a数组用来存放每个数字的遍历，定义b数组用来存放每个数字出现的次数
bool find(int n) {
    memset(a, 0, sizeof(a));  // 初始化a数组
    memset(b, 0, sizeof(b));  // 初始化b数组
    string s = to_string(n);  // 将n转为字符串s
    for (int i=0; i<s.length(); i++) {  // 遍历s字符串
        if (s[i]=='0') return false;  // 如果其中有字符'0'，则返回false
    }
    for (int i=0; i<s.length(); i++) {  // 遍历s字符串
        b[(s[i]-'0')]++;  // 使用桶记录每个数字出现的次数
    }
    for (int i=1; i<=9; i++) {  // 在1-9中（没有0，是因为有0就已经退出循环了）
        if (b[i]>1) return false;  // 如果某个数字的计数大于1，说明有重复数字，返回false
    }
    int mark=0;  // 其实下标为0
    for (int i=0; i<s.length(); i++) {  // 循环s字符串长度的次数
        a[mark] = 1;  // 将a数组中对应下标修改为1，表示此下标已经遍历过
        mark = (mark+(s[mark]-'0'))%s.length();  // 下标加上下标对应的数字的和，对长度取余，得到新的下标
    }
    if (s[mark]!=s[0]) return false;  // 循环完后，更新后的mark下标对应的数字如果和开始字符，即下标为0的字符相同，则符合要求，否则返回false
    for (int i=0; i<s.length(); i++) {  // 遍历a数组
        if (a[i]==0) return false;  // 如果有位置还为0，说明对应下标的数字没有被遍历到，返回false
    }
    return true;  // 如果以上条件否可以满足，则返回true
}
int main()
{
    cin >> m;  // 输入m
    for (int i=m+1; i<=1e9; i++) {  // 从m+1开始遍历，最大数字为1e9
        if (find(i)) {  // 判断i是否符合要求
            cout << i << endl;  // 如果如何要求则输出
            break;  // 并退出循环
        }
    }
    return 0;
}

【运行结果】

81361
81362